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Hallo
folgende Aufgabe bringt mich zur Verzweiflung. Ich muß die morgen abgeben und die hat immerhin 8 Punkte die ich dringend brauche. Also wende ich mich mal an euch.
Aufgabe:
Wir betrachten die Menge [mm] \IR^{\IN} := \{(a_{n})_{n \in \IN} | a_{n} \in \IR \forall n \in \IN \} [/mm] der reelen Zahlenfolgen. Anstelle von [mm] {(a_{n})_{n \in \IN} [/mm] schreiben wir kurz [mm] (a_{n}) [/mm]. Durch die Vorschriften :
[mm]
(a_{n})+(b_{n}):= (a_{n}+b_{n})
\lambda(a_{n}):= ( \lambda a_{n})
[/mm]
werden Abbildungen Plus: [mm] \IR^{\IN} x \IR^{\IN} \to \IR^{\IN} [/mm] und Mal: [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR^{\IN} \to \IR^{\IN} [/mm] [/mm] definiert.
a) Zeigen sie das [mm] \{ \IR^{\IN} , \IR , Plus, Mal \} [/mm] ein Vektoraum ist.
b) Zeigen Sie: Für jedes [mm] m \in \IN [/mm] gibt es [mm] m [/mm] linear undabhängige Vektoren aus [mm] \IR^{\IN} [/mm].
c) Ist der [mm] \IR^{\IN} [/mm] endlich oder unendlichdimensional? Begründung.
d) Sind folgende Mengen Teilräume von [mm] \IR^{\IN}[/mm]?
[mm]
N:= \{ (a_{n}) \in \IR^{\IN} | \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0 \},
E:= \{ (a_{n}) \in \IR^{\IN} | \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=1 \},
D:= \{ (a_{n}) \in \IR^{\IN} | \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} divergent \}
[/mm]
Ich danke für jede Hilfe, denn ich brauche jedes Pünktchen :o/
Lg
Christinchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Do 02.12.2004 | | Autor: | Hexe |
Also zu a, da musst halt Abgeschlossenheit, assoziativität, Kommutativität, Null und Einselement und Distributivgesetze zeigen. Das ist halt ein rumgerechne mit den Definitionen.
b; würd ich mit Induktion machen m=1 [mm] (a_{n}):= [/mm] (1,000..)
c; folgt aus b; für jede Dim m-1 find ich m Vektoren die auch lin unabh. sind
d; Also E und D sind wohl nicht Abgeschlossen da musst halt schöne Beispielelemente finden
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