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Hallo,
ich habe eine kleine Frage zun der e-Funktion. Ich habe im Internet schon recht viel gesucht, aber keine passende Antwort gefunden:
Also: Kann ich [mm] e^{x^2} [/mm] irgendwie vereinfachen? Wenn dort [mm] e^{2x} [/mm] stehen würde, wüsste ich ja, wie man die Ableitungen davon bestimmt, aber leider ist dem ja nicht so.
Vielleicht weiß auch jemand eine gute, verständliche Seite, wo ich mir da einiges zu durchlesen könnte, damit ich nicht immer so blöde Fragen hier stellen muss.
Meine eigentliche Funktion heißt $ [mm] f(x)=e^{x^2}-1 [/mm] $
Diese muss ich untersuchen. Aber ohne Aleitungen komme ich ja nicht weit.
Zuerst hatte ich halt [mm] f'(x)=2e^{x^2} [/mm] gedacht, aber das ist ja nur die Ableitung von [mm] f(x)=e^{2x}-1
[/mm]
Ich bin dankbar für jede Hilfe,
LG TryingHard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo TryingHard!
Den Ausdruck [mm] $e^{x^2}$ [/mm] kann man nicht weiter vereinfachen, außer zu: [mm] $\left(e^x\right)^x$ [/mm] ... aber das hilft Dir nicht wirklich weiter.
Für die ableitung von [mm] $e^{x^2}$ [/mm] must Du die  Kettenregel anwenden mit [mm] $e^{(...)}$ [/mm] als äußere Funktion und $(...) \ = \ [mm] x^2$ [/mm] als innere Funktion.
Damit solltest Du dann erhalten:
[mm] $\left( \ e^{x^2} \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^{(...)}*(...)' [/mm] \ = \ [mm] e^{x^2}*2x [/mm] \ = \ [mm] 2x*e^{x^2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Danke!
Also ist dann dementsprechend die zweite Ableitung:
[mm] f''(x)=2*e^{x^2}+2x*2x*e^{x^2}
[/mm]
[mm] f''(x)=e^{x^2}*(2+4x^2)
[/mm]
Und die dritte sieht dann so aus?:
[mm] f'''(x)=(e^{x^2}+2*2x*e^{x^2})+(8x*e^{x^2}+4x^2*2x*e^{x^2})
[/mm]
LG TryingHard
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Hallo TryingHard,
> Also ist dann dementsprechend die zweite Ableitung:
>
> [mm]f''(x)=2*e^{x^2}+2x*2x*e^{x^2}[/mm]
> [mm]f''(x)=e^{x^2}*(2+4x^2)[/mm]
[mm]f''(x)=e^{x^2}*(2+4x^2) = 2*e^{x^2}*(1+2x^2)[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Und die dritte sieht dann so aus?:
>
> [mm]f'''(x)=(e^{x^2}+2*2x*e^{x^2})+(8x*e^{x^2}+4x^2*2x*e^{x^2})[/mm]
hier stimmt was nicht; ich erhalte: $f'''(x) = [mm] 4x*e^{x^2}(2x^2+3)$ [/mm] (sagt Derive  )
>
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> LG TryingHard
Gruß informix
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Hmm, danke für die Antwort!
Könntest du mir denn bitte die Schritte zeigen, wie du zur dritten Ableitung gekommen bist, damit ich sehe wo ich meinen Fehler gemacht habe.
Danke
LG TryingHard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Sa 28.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast ja korrekterweise:
[mm] f''(x)=\underbrace{2\cdot{}e^{x^2}}_{u}\cdot{}\underbrace{(1+2x^2)}_{v}
[/mm]
Wenn du das jetzt ableitest, erhältst du mit der Produktregel:
[mm] f'''(x)=\underbrace{4xe^{x²}}_{u'}*\underbrace{(1+2x²)}_{v}+\underbrace{2e^{x²}}_{u}*\underbrace{4x}_{v'}
[/mm]
[mm] =4xe^{x²}+8x³e^{x²}+8xe^{x²}
[/mm]
[mm] =e^{x²}*(4x+8x³+8x)
[/mm]
[mm] =e^{x²}(8x³+12x)
[/mm]
[mm] (=4xe^{x²}(2x²+3), [/mm] wie Derive vorschägt, ich finde aber die vorherige Version besser)
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Kann es sein, dass die Ableitung von [mm] f(x)=e^{g(x)} [/mm] immer [mm] f'(x)=g'(x)*e^{g(x)} [/mm] ist? So würde man auch auf die [mm] f'(x)=2x*e^{x²} [/mm] kommen. Und bei anderen Funktionen klappt das auch. Allerdings hab ich das eben nur mal durch probieren bemerkt, also weiß ich nicht, ob's Ausnahmen gibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Teufel |
Oh ok ;) wusste ich nicht, wir hatten Ketten- & Quotientenregel noch nicht in der Schule. Unsere Lehrerin hat gesagt, dass wir uns erst einmal so durchschlagen sollen ;)
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Hallo,
Ja Teufel du hast recht es ist so. Auch bei [mm] e^{\wurzel{x}} [/mm] ist die ableitung [mm] f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}}*e^{\wurzel{x}}
[/mm]
Das nur als Beispiel, aber wenn ich mich nicht komplett irre is das wohl möglich =)
Bis denn
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