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| Aufgabe | Anton und Berta spielen nacheinander mehrere Schachpartien. Das Spiel ist beendet, sobald ein Spieler eine Partie gewonnen hat. Dieser Spieler ist dann der Sieger.
Bei jeder Partie sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse Anton gewinnt, Anton verliert und Anton spielt unentschieden gleich groß. Die Zufallsvariable Z gibt an, nach wie vielen Partien (n = 1, 2, 3, . . .) das Spiel zu Ende ist.
a) Bestimme den allgemeinen Ausdruck zur Berechnung von P({Z = n}) und berechne, wie viele Partien im Mittel gespielt werden, bis das Spiel beendet ist.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Spiel nicht beendet wird, weil alle
Partien unentschieden ausgehen. |
Hallo,
wie berechne ich den allgemeinen Ausdruck?
Meine Überlegung zur Aufgabe a) lautet:
Gewinnt Anton beim ersten Mal, ist die Wahrscheinlichkeit 1/3, beim zweiten Mal 1/9 beim dritten Mal 1/27 ... .
Der Erwartungswert ergibt sich dann folgendermaßen: 1*(1/3) + 2*(1/9) + 3*(1/27) + ... Das ergibt näherungsweise 0,75.
Will ich mir die Formel mit dem Summenzeichen darstellen komme ich auf folgendes: [mm] \summe_{i=1}^{\infty}n*p^n. [/mm] Richtig? Wie kann ich diese Formel als Reihe darstellen?
Meine Überlegung zu b) lautet: Das erste Spiel geht mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 unentschieden aus, das zweite mit 1/9 das dritte mit 1/27 ... . So komme ich auf eine Wahrscheinlichkeit von näherungsweise 0,5. Das kann aber doch gar nicht sein, denn das wäre ja auch die selbe Wahrscheinlichkeit, wie wenn ich davon ausginge, dass Anton oder Berta irgendwann ein Spiel gewönne, oder?
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Markus
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a)
Das Spiel ist beendet, sobald einer der beiden Spieler seine erste Partie gewinnt. Die Wahrscheinlichkeit pro Partie, dass einer der beiden gewinnt ist [mm] \bruch{2}{3}. [/mm] Jetzt musst du den Erwartungwert bestimmen. Mach dir folgendes klar: Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der beiden die erste Partie gewinnt ist [mm] \bruch{2}{3}. [/mm] Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zu einer zweiten Partie kommt [mm] \bruch{1}{3}. [/mm] Die Wahrscheinlichkeit, dass einer die zweite Partie gewinnt ist dann [mm]\bruch{1}{3}*\bruch{2}{3}[/mm]. Damit ist die WS, dass es zu einer dritten Partie kommt [mm](\bruch{1}{3})^2[/mm] usw. Insgesamt gilt für den Erwartungswert:
[mm]E(Z)= \summe_{i=1}^{\infty}i*(\bruch{1}{3})^{i-1} *\bruch{2}{3}[/mm]
PS: Hier war im Originalbeitrag ein Fehler, den ich inzwischen behoben habe *erst_denken_dann_tippen*
b)
WS, dass erste Partie unentschieden: [mm] \bruch{1}{3}. [/mm]
WS, dass zweite Partie unentschieden, nachdem erste unentschieden: [mm] (\bruch{1}{3})^2. [/mm]
WS, dass dritte Partie unentschieden, nachdem erste beide unentschieden: [mm] (\bruch{1}{3})^3. [/mm]
usw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Do 29.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Markus,
die Darstellung in deinem ersten Posting ist mir sympathischer, denn
$Z$ kann die Werte $n=1,2,3,...$ annehmen. Wie gross ist $P(Z=1)$?
$(Z=1)$ bedeutet, dass das Spiel nach der ersten Partie beendet ist.
Das passiert, wenn A oder B gewinnt, also ist $P(Z=1)=2/3$. $(Z=2)$
bedeutet, dass das erste Spiel Remis ausgeht und A oder B die zweite
Partie gewinnt. Sind die Ausgaenge von Partie zu Partie unabhaengig
(was nicht explizit in der Aufgabenstellung steht -- Schlamperei!) so
ist [mm] $P(Z=2)=1/3\times [/mm] 2/3$. Das Spiel wird in der $n$-ten Partie mit der
Wsk [mm] $P(Z=n)=1/3^{n-1}\times [/mm] 2/3$ beendet.
Gesucht ist noch
[mm] $\operatorname{E}[Z]=\sum_{n=1}^\infty nP(Z=n)=\frac{2}{3}\sum_{n=1}^\infty n(\frac{1}{3})^{n-1}=2\sum_{n=1}^\infty n(\frac{1}{3})^{n}$.
[/mm]
Eine alte Bauernregel besagt, dass gilt [mm] $\sum_{n=1}^\infty nq^n=q/(1-q)^2$ [/mm] fuer
$|q|<1$. Eingesetzt oben erhalte *ich* [mm] $\operatorname{E}[Z]=3/2$.
[/mm]
Tipp: Ergoogle die mal den Begriff geometrische Verteilung.
lg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 Do 29.11.2007 | | Autor: | Der.Franke |
Hallo,
erst mal Danke für eure Antworten. Ich werde mich gleich dransetzen und versuchen, eure Lösungen nachzuvollziehen. Die Antworten beziehen sich beide auf das erste Posting, oder? Durch meine eigene Schlamperei hab ich das zweite Posting anscheinend falsch eingestellt. Hierbei handelt es sich um eine zweite Aufgabe, bei der ich ebenfalls nicht richtig weiterkomme. Über einen Denkanstoss dazu würde ich mich ebenfalls sehr freuen.
Viele Grüße
Markus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Do 29.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Markus,
es waere hilfreich, wenn du die zweite Frage in einem eigenen Thread stellen wuerdest.
Das gibt sonst zu viel Kuddelmuddel. Hab' glatt ueberlesen, dass sich die
Aufgabenstellung geaendert hat.
lg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Do 29.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Luis!
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") . . . . 2. Frage
Gruß
Loddar
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