www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Alle komplexen Zahlen, die ...
Alle komplexen Zahlen, die ... < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Alle komplexen Zahlen, die ...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Sa 13.02.2021
Autor: MasterEd

Aufgabe
<br>
Sei [mm] z=a+b*i [/mm] eine komplexe Zahl und [mm] \overline{z} [/mm] ihre Konjugierte. Bestimmen Sie alle Zahlen z, die die Gleichung [mm] z^2-5\overline{z}=0 [/mm] lösen.



<br>

Also ich habe mir schon überlegt, dass [mm] \overline{z}=a-b*i [/mm] ist und [mm] z^2=(a^2-b^2)+(2ab)*i [/mm] ist.

Dann komme ich zur Gleichung  [mm] (a^2-b^2)+(2ab)*i-5a+5b*i=0. [/mm]
Diese habe ich wieder im komplexen "Format" geschrieben:
[mm] (a^2-5a+b^2)+(2ab+5b)*i=0 [/mm]

Ab da komme ich nicht mehr weiter. Bin für jeden Hinweis dankbar.

        
Bezug
Alle komplexen Zahlen, die ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Sa 13.02.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  [mm](a^2-5a+b^2)+(2ab+5b)*i=0[/mm]
>  
> Ab da komme ich nicht mehr weiter

Eine komplexe Zahl ist genau dann Null, wenn Real- und Imaginärteil gleich Null sind.

Gruß,
Gono


Bezug
        
Bezug
Alle komplexen Zahlen, die ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Sa 13.02.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

dein Ansatz ist zielführend und völlig ok, als Alternative hier aber mal ein anderer Ansatz:

Wir haben $ [mm] z^2-5\overline{z}=0 [/mm] $  und offensichtlich ist $z=0$ eine Lösung.
Seit also im Weiteren [mm] $z\not=0$. [/mm] Durchmultiplizieren mit $z$ liefert:

$ [mm] z^3-5\overline{z}z=0 [/mm] $

Nun ist [mm] $\overline{z}z [/mm] = [mm] |z|^2$. [/mm] Dividieren durch [mm] $|z|^2$ [/mm] und umstellen liefert dann.

[mm] $\left(\frac{z}{|z|}\right)^2 \cdot [/mm] z = 5$

Verwendet man nun die Polarform von $z$, so gilt $z = [mm] re^{i\varphi}$ [/mm] und [mm] $\frac{z}{|z|} [/mm] = [mm] e^{i\varphi}$ [/mm]

Damit ergibt sich:

[mm] $re^{3i\varphi} [/mm] = 5$

d.h.

$r = 5, [mm] 3\varphi [/mm] = [mm] 2k\pi$ [/mm]

D.h. als Lösungen ergeben sich (neben z=0 und für [mm] $\varphi \in [0,2\pi)$): [/mm]
$r=5, [mm] \left(\varphi = 0 \vee \varphi = \frac{2}{3}\pi \vee \varphi = \frac{4}{3}\pi\right)$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Alle komplexen Zahlen, die ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:20 Mo 15.02.2021
Autor: fred97

Noch eine Möglichkeit:

Klar ist , dass $z=0$ die Gleichung löst. Sei als $z [mm] \ne [/mm] 0.$

Wie bei Gono multiplizieren wir die Gl mit $z$ und erhalten

(*)      [mm] $z^3=5|z|^2,$ [/mm]

also

   [mm] $|z|^3=5|z|^2,$ [/mm]

dies liefert schon mal $|z|=5.$

Aus (*) erhalten wir

[mm] $z^3=125$. [/mm]

Man sieht, dass $z=5$ eine Lösung ist und dass

[mm] $(z^3-125):(z-5)=z^2+5z+25$ [/mm]

gilt

Die quadratische Gleichung [mm] $z^2+5z+25=0$ [/mm] hat die Lösungen

       [mm] $\frac{5}{2}(-1 \pm [/mm] i [mm] \sqrt{3}).$ [/mm]



Bezug
                
Bezug
Alle komplexen Zahlen, die ...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:38 Mo 15.02.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

sehr hübsch!

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Alle komplexen Zahlen, die ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Mo 15.02.2021
Autor: fred97


> <br>
>  Sei [mm]z=a+b*i [/mm] eine komplexe Zahl und [mm]\overline{z}[/mm] ihre
> Konjugierte. Bestimmen Sie alle Zahlen z, die die Gleichung
> [mm]z^2-5\overline{z}=0[/mm] lösen.
>  
>
> <br>
>  
> Also ich habe mir schon überlegt, dass [mm]\overline{z}=a-b*i[/mm]
> ist und [mm]z^2=(a^2-b^2)+(2ab)*i[/mm] ist.
>  
> Dann komme ich zur Gleichung  [mm](a^2-b^2)+(2ab)*i-5a+5b*i=0.[/mm]
>  Diese habe ich wieder im komplexen "Format" geschrieben:
>  [mm](a^2-5a+b^2)+(2ab+5b)*i=0[/mm]


Hier hast Du einen Fehler: es lautet richtig:


                   [mm](a^2-5a-b^2)+(2ab+5b)*i=0[/mm].

Wie Gono in seiner ersten Antwort geschrieben hat, bedeutet dies:

[mm] $a^2-5a-b^2=0$ [/mm]

und

$2ab+5b=0.$

Wenn Du dieses Gleichungssystem löst, solltest Du auf die Ergebnisse meine ersten Antwort kommen.

>  
> Ab da komme ich nicht mehr weiter. Bin für jeden Hinweis
> dankbar.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]