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Alle Löungen der Diff.gleich.: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Mo 16.07.2007
Autor: Karras

Aufgabe
Finden Sie alle Lösungen der Differenzialgleichungen

a) y'=23y+4
b) y'=y+7x
c) y'=x*y+17
d) y'=-y*cos(x)+cos(x)

Die Lösungsmenge besteht aus der Lösung der homogenen und der inhomogenen Lösung
[mm] L=\lambda [/mm] * homogen+inhomogen

y'=A(x)y+b(x)

Die homogene Lösung berechnet man mit
[mm] f(x)=\exp(\integral_{x_0}^{x}{A(t) dt}) [/mm]

Die inhomogene Lösung berechnet man mit
[mm] g(x)=f(x)*(\integral_{x_0}^{x}{\bruch{b(t)}{f(t)} dt}) [/mm]

Der inhomogene Teil ist ja glaub ich noch recht einfach

a) [mm] \exp(23x) [/mm]
b) [mm] \exp(x) [/mm]
c) [mm] \exp(\bruch{1}{2} xy^2) [/mm]
d) [mm] \exp(-\bruch{1}{2} y^2*cos(x)) [/mm]

hoffe das stimmt bis jetzt
so nun der inhomogene Teil
Kann mir da jemand einen Tip geben?

Vielen dank

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
  

        
Bezug
Alle Löungen der Diff.gleich.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Mo 16.07.2007
Autor: leduart

Hallo
> Finden Sie alle Lösungen der Differenzialgleichungen
>  
> a) y'=23y+4
>  b) y'=y+7x
>  c) y'=x*y+17
>  d) y'=-y*cos(x)+cos(x)
>  Die Lösungsmenge besteht aus der Lösung der homogenen und
> der inhomogenen Lösung
>  [mm]L=\lambda[/mm] * homogen+inhomogen
>  
> y'=A(x)y+b(x)
>  
> Die homogene Lösung berechnet man mit
>  [mm]f(x)=\exp(\integral_{x_0}^{x}{A(t) dt})[/mm]
>  
> Die inhomogene Lösung berechnet man mit
>  [mm]g(x)=f(x)*(\integral_{x_0}^{x}{\bruch{b(t)}{f(t)} dt})[/mm]
>  
> Der inhomogene Teil ist ja glaub ich noch recht einfach
>  
> a) [mm]\exp(23x)[/mm]
>  b) [mm]\exp(x)[/mm]
>  c) [mm]\exp(\bruch{1}{2} xy^2)[/mm]
>  d) [mm]\exp(-\bruch{1}{2} y^2*cos(x))[/mm]

c) und d) sind falsch! y darf doch nicht in der Lösung vorkommen!  

> hoffe das stimmt bis jetzt
>  so nun der inhomogene Teil
>  Kann mir da jemand einen Tip geben?

bei so einfachen inhomogenen Teilen einfach Ansatz:
a)y=a  einstzen und a bestimmen.
b)y=ax+b einsetzen und a und b durch Koeffizientenvergleich.

Gruss leduart

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