Algebraisch abgeschlossen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 Fr 23.01.2009 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | 1) Bestimmen sie ein Polynom P [mm] \in \IQ[X] [/mm] das [mm] a=1-i+\wurzel[3]{2} [/mm] als Nullstelle hat.
2) Zeigen sie: ein Körper ist genau dann algebraisch abgeschlossen wenn er keine nicht-trivialen algebraischen Erweiterungen hat.
3) Zeigen Sie, das der algebraische Abschluss von [mm] E=\IQ[\wurzel{2}] [/mm] in [mm] \IC [/mm] auch nur [mm] \overline{\IQ} [/mm] ist.
4) Sei [mm] \IQ_{Schlange} [/mm] der algebraische Abschluss von [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \IQ_{Schlange}=\overline{\IQ}\cap \IR [/mm] und [mm] \overline{\IQ}=\IQ_{Schlange}[i] [/mm] |
Hallo,
also erstmal soviel. Die Theorie hab ich soweit verstanden. Das Kapitel in unserem Begleitbuch zu diesem Thema habe ich durch und ich denke auch, das ich es ganz gut verinnerlicht habe. Mir fehlt nur immer ein bisschen der Ansatz zu den Beweisen. Oder wenn ich einen Ansatz habe, dann kriege ich nicht so richtig die Kurve, so das am Ende das folgt was ich eigentlich zeigen soll.
Zu 1)
erstmal hab ich keine Ahnung welchen Grad das Polynom haben muss, damit es diese Nullstelle hat, aber ich gehe mal von Grad 3 aus. Die Idee ist die, das ich also meine Nullstelle hoch drei und hoch zwei nehme, so das die Linearkombination aus a hoch 3 und a hoch zwei und a + oder - einem Term dann 0 ergibt, dann weiß ich das a meine Nullstelle ist. Diese Kombination habe ich leider noch nicht gefunden. Ich habe schon einige ander Aufgabe dieser Art gemacht, doch da hat man das Polynom schon nach wenigen Sekunden ohne großartiges rechnen gehabt.
Bei Aufgabe 3) und 4) hab ich gar keine Ahnung.
Aufgabe 2)
Ich weiß, das ein Körper algebraisch abgeschlossen ist, wenn alle Polynome über ihm in Linearfaktoren zerfallen. Die Aussage " keine nicht-trivialen" würde ich übersetzen mit "nur triviale" algebraische Erweiterungen. Algebraische Erweiterungen sind Erweiterungskörper von Körpern, deren Elemente alle eine Nullstelle eines Polynoms über dem Grundkörper sind. Und "triviale Erweiterung" habe ich nirgends gefunden, sondern nur "einfache Erweiterung", was ja soviel heißt wie, das die Erweiterng nur aus einem einzigen Element besteht. Also sei L der Erweiterungskörper von K und a ein Element von L, dann ist L(a) eine einfache Erweiterung.
Nur wie nutze ich all dieses Zeugs, wenn ich nicht weiß wie ich zum Ziel kommen soll?
Ich brauche unbedingt eure Hilfe.
Ich weiß, die Aufgaben sind nicht ganz so einfach, aber vielleicht könntet ihr ja trotzdem versuchen mir zu helfen.
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Fr 23.01.2009 | | Autor: | PeterB |
Zu 1) Wenn ich irgend ein algebraisches Element $x$ habe, dann hat es endlich viele Konjugierte [mm] $x_1,...x_n$ [/mm] (über [mm] $\mathbb [/mm] Q$) und ist eine Nullstelle von [mm] $\prod_{i=1}^n (T-x_i)\in \mathbb [/mm] Q[T]$.
In deinem Fall erhältst du alle Konjugierten, wenn du i durch ein Element von [mm] $ß{i,-i\}$ [/mm] und [mm] $\wurzel[3]{2}$ [/mm] die Menge [mm] $\{\wurzel[3]{2},\zeta \wurzel[3]{2},\zeta^2\wurzel[3]{2}\}$ [/mm] durchläuft mit einer primitiven 3.Einheitswurzel [mm] $\zeta$. [/mm] Im Allgemeinen ist nicht klar, dass alle sechs Elemete tatsächlich Konjugierte sind. Da aber nur ein Polynom, und nicht das Minimalpolynom gesucht ist, ist das egal.
Zu 2) Das hast du falsch verstanden: Per Definition ist jeder Körper eine Erweiterung von sich selbst. (Die einzige vom Grad 1!) Diese nennt man die triviale Erweiterung, alle anderen nicht. Die Aufgabe hier besteht hauptsächlich darin, sich zu überlegen, wie Erweiterungen mit der Menge der irreduziblen Polynome zusammenhängen.
Zu 3) $E$ ist algebraisch über [mm] $\mathbb [/mm] Q$, also in [mm] $\overline{\mathbb Q}$ [/mm] enthalten. Was muss jetzt genau erfüllt sein, damit [mm] $\overline{\mathbb Q}$ [/mm] ein algebraischer Abschluss von $E$ ist?
Zu 4) Schreibe Dir genau auf was es heißt, dass [mm] $\overline{\mathbb Q}$ [/mm] der algebraische Abschluss von [mm] $\mathbb [/mm] Q$ in [mm] $\mathbb [/mm] C$ ist (warum), und danach überlege dir, was der Durchschnitt mit [mm] $\mathbb [/mm] R$ ist.
Gruß
Peter
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