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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Dieter54 |
| Aufgabe | Sei D eine nicht-leere Menge. Setze [mm] T(D):=\{f:D\to\IR | f(D) endlich\}.
[/mm]
Zeige: T(D) ist eine Algebra und ein Vektorverband von Funktionen. Besitzt T(D) bezüglich der Multiplikation von Funktionen ein Einselement? |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=135682&start=0&lps=990283#v990283
Hallo,
welche "Eigenschaften" müssen bei dieser Aufgabe nachgewiesen werden? Also muss zunächst gezeigt werden, dass T(D) ein Vektorraum ist? Und kann man erst dann zeigen, dass es sich auch um eine Algebra handelt?
Was den Vektorverband angeht: Reicht es hier, wenn man sagt:
kard(|f(D)|) <= kard(f(D)) ?
Denn dann müsste ja |f(D)| wiederum in T(D) liegen.
(Die Definition von Vektorverband, die ich kenne:
Ein Untervektorraum U des Funktionenraumes [mm] \IR^D [/mm] mit f [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] |f| [mm] \in [/mm] U heißt ein Vektorverband reellwertiger Funktionen.)
Bezüglich des Einselementes: Meine Vermutung ist, dass einfach die konstante Funktion 1 das Einselement ist, da deren Bildmenge endlich ist, und sie das neutrale Element von T(D) ist. Ist das so richtig? Genauer begründen kann ich es leider nicht.
Gruß, Dieter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Mo 08.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei D eine nicht-leere Menge. Setze [mm]T(D):=\{f:D\to\IR | f(D) endlich\}.[/mm]
>
> Zeige: T(D) ist eine Algebra und ein Vektorverband von
> Funktionen. Besitzt T(D) bezüglich der Multiplikation von
> Funktionen ein Einselement?
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=135682&start=0&lps=990283#v990283
>
> Hallo,
>
> welche "Eigenschaften" müssen bei dieser Aufgabe
> nachgewiesen werden? Also muss zunächst gezeigt werden,
> dass T(D) ein Vektorraum ist?
Ja
> Und kann man erst dann
> zeigen, dass es sich auch um eine Algebra handelt?
Ja
>
> Was den Vektorverband angeht: Reicht es hier, wenn man
> sagt:
>
> kard(|f(D)|) <= kard(f(D)) ?
Ja
>
> Denn dann müsste ja |f(D)| wiederum in T(D) liegen.
???? Du meinst sicher: $|f| [mm] \in [/mm] T(D)$
>
> (Die Definition von Vektorverband, die ich kenne:
>
> Ein Untervektorraum U des Funktionenraumes [mm]\IR^D[/mm] mit f [mm]\in[/mm]
> U [mm]\Rightarrow[/mm] |f| [mm]\in[/mm] U heißt ein Vektorverband
> reellwertiger Funktionen.)
>
> Bezüglich des Einselementes: Meine Vermutung ist, dass
> einfach die konstante Funktion 1 das Einselement ist, da
> deren Bildmenge endlich ist, und sie das neutrale Element
> von T(D) ist. Ist das so richtig?
Ja
> Genauer begründen kann
> ich es leider nicht.
Das hast Du doch fast schon ! 1. Es ist $1 [mm] \in [/mm] T(D)$
2. Zeige: für $f [mm] \in [/mm] T(D)$ ist $f*1 [mm] \in [/mm] T(D)$
FRED
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> Gruß, Dieter
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