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(Frage) überfällig  | | Datum: | 02:33 Di 01.08.2006 | | Autor: | mond |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(a) Zeige dass K{x+ywurzel{-5} x,y von Q} mit der induzieren Addition und Multiplikation von C ein UnterKoerper von C ist.
(b) Zerlege das Polynom [mm] x^{4} [/mm] +2 [mm] x^{2} [/mm] -15 in irreduzible ueber Q, R, C und dem Koerper K aus Teil (a)
(c) Finde die Inversen von x+1 und 2x bzueglich der Multiplikation in [mm] Z_{3} [x]/(x^{2} [/mm] +1)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:34 Di 01.08.2006 | | Autor: | mond |
kann jemand mir hilfen um die Aufgabe richtig zu antworten
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Di 01.08.2006 | | Autor: | mond |
b) Zerlege das Polynom [mm] x^{4} [/mm] + 2* [mm] x^{2} [/mm] - 15 in
> irreduzible Faktoren ueber und dem Koerper K aus Teil (a)
[mm] x^{4} [/mm] + 2* [mm] x^{2} [/mm] - 15= ( [mm] x^{2} [/mm] +5) ( [mm] x^{2} [/mm] -3)
( [mm] x^{2} [/mm] +5) ist irreduzible Teiler in [mm] \IQ [/mm] , [mm] \IR, \IC [/mm] und K
[mm] x^{4} [/mm] + 2* [mm] x^{2} [/mm] - 15= ( [mm] x^{2} [/mm] +5) ( x+ [mm] \wurzel{3})( [/mm] x- [mm] \wurzel{3})
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Di 01.08.2006 | | Autor: | statler |
Hi!
> b) Zerlege das Polynom [mm]x^{4}[/mm] + 2* [mm]x^{2}[/mm] - 15 in
> > irreduzible Faktoren ueber und dem Koerper K aus Teil (a)
>
>
> [mm]x^{4}[/mm] + 2* [mm]x^{2}[/mm] - 15= ( [mm]x^{2}[/mm] +5) ( [mm]x^{2}[/mm] -3)
>
> ( [mm]x^{2}[/mm] +5) ist irreduzible Teiler in [mm]\IQ[/mm] , [mm]\IR, \IC[/mm] und
> K
>
> [mm]x^{4}[/mm] + 2* [mm]x^{2}[/mm] - 15= ( [mm]x^{2}[/mm] +5) ( x+ [mm]\wurzel{3})([/mm] x-
> [mm]\wurzel{3})[/mm]
So ist das noch falsch, da z. B. über [mm] \IC [/mm] jedes Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Du mußt das in jedem dieser Körper einzeln untersuchen. Und vielleicht auch immer begründen?
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Di 01.08.2006 | | Autor: | mond |
[mm] (x^{2}+5) [/mm] ist [mm] \not\in \IQ [/mm] deshalb im [mm] \IQ [/mm] ist irreduziebel
[mm] (x^{2}-3) [/mm] ist [mm] \not\in \IQ [/mm] deshalb im [mm] \IQ [/mm] ist irreduziebel
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x^{4}+2x^{2}-15 [/mm] ist irreduzible im [mm] \IQ [/mm]
aber
[mm] (x^{2}-3) [/mm] ist [mm] \in \IR [/mm] deshalb im [mm] \IR [/mm] ist reduziebel
[mm] (x^{2}+5) [/mm] ist [mm] \not\in \IR [/mm] deshalb im [mm] \IR [/mm] ist irreduziebel
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x^{4}+2x^{2}-15 [/mm] ist irreduzible im [mm] \IR
[/mm]
aber
[mm] (x^{2}-3) [/mm] ist [mm] \in \IC [/mm] deshalb im [mm] \IC [/mm] ist reduziebel
[mm] (x^{2}+5) [/mm] ist [mm] \in \IC [/mm] deshalb im [mm] \IC [/mm] ist reduziebel
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x^{4}+2x^{2}-15 [/mm] ist reduzible im [mm] \IC
[/mm]
und
[mm] (x^{2}-3) [/mm] ist [mm] \in [/mm] K deshalb im k ist reduziebel
[mm] (x^{2}+5) [/mm] ist [mm] \in [/mm] k deshalb im k ist reduziebel
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x^{4}+2x^{2}-15 [/mm] ist reduzible im k
K ist Unterkoerper von [mm] \IC
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Di 01.08.2006 | | Autor: | statler |
Hi!
> [mm](x^{2}+5)[/mm] ist [mm]\not\in \IQ[/mm] deshalb im [mm]\IQ[/mm] ist
> irreduziebel
>
> [mm](x^{2}-3)[/mm] ist [mm]\not\in \IQ[/mm] deshalb im [mm]\IQ[/mm] ist
> irreduziebel
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]x^{4}+2x^{2}-15[/mm] ist irreduzible im [mm]\IQ[/mm]
Aber [mm] (x^{2}+5)*(x^{2}-3) [/mm] ist doch eine Zerlegung über [mm] \IQ. [/mm] Die Frage ist, ob man das über [mm] \IQ [/mm] noch weiter zerlegen kann. (Nein)
> aber
> [mm](x^{2}-3)[/mm] ist [mm]\in \IR[/mm] deshalb im [mm]\IR[/mm] ist reduziebel
> [mm](x^{2}+5)[/mm] ist [mm]\not\in \IR[/mm] deshalb im [mm]\IR[/mm] ist
> irreduziebel
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]x^{4}+2x^{2}-15[/mm] ist irreduzible im [mm]\IR[/mm]
Hier gilt dasselbe wie oben, aber eben über [mm] \IR, [/mm] und hier kann man einen der beiden Faktoren weiter zerlegen.
> aber
> [mm](x^{2}-3)[/mm] ist [mm]\in \IC[/mm] deshalb im [mm]\IC[/mm] ist reduziebel
> [mm](x^{2}+5)[/mm] ist [mm]\in \IC[/mm] deshalb im [mm]\IC[/mm] ist reduziebel
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]x^{4}+2x^{2}-15[/mm] ist reduzible im [mm]\IC[/mm]
Und wie sieht die volle Zerlegung aus? Sie muß nach dem Fundamentalsatz der Algebra aus Linearfaktoern bestehen.
> und
> [mm](x^{2}-3)[/mm] ist [mm]\in[/mm] K deshalb im k ist reduziebel
> [mm](x^{2}+5)[/mm] ist [mm]\in[/mm] k deshalb im k ist reduziebel
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]x^{4}+2x^{2}-15[/mm] ist reduzible im k
> K ist Unterkoerper von [mm]\IC[/mm]
Wie sieht hier die max. mögliche Zerlegung aus?
Außerdem verstehe ich [mm](x^{2}+5)[/mm] ist [mm]\not\in \IQ[/mm] nicht, ein Polynom P(x) liegt höchstens in [mm] \IQ[x].
[/mm]
Gruß
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Di 01.08.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> (a) Zeige dass K{x+ywurzel{-5} x,y von Q} mit der
> induzieren Addition und Multiplikation von C ein
> UnterKoerper von C ist.
Das soll wohl so heißen:
Zeige dass K = [mm]\{x + y*\wurzel{-5},[/mm] | x, y [mm]\in \IQ \}[/mm] mit der
induzierten Addition und Multiplikation von [mm] \IC [/mm] ein
Unterkörper von [mm] \IC [/mm] ist.
Dazu müßtest du zeigen, daß K bzgl. der Addition eine (Unter-)Gruppe bildet und das K ohne die 0 bzgl. der Multiplikation eine (Unter-)Gruppe bildet. Wichtig sind vor allen Dingen Abgeschlossenheit und Bildung des Inversen.
Geh doch mal deine Axiom für Gruppen bzw. Untergruppen durch und prüfe sie.
> (b) Zerlege das Polynom [mm]x^{4}[/mm] + 2*[mm]x^{2}[/mm] - 15 in
> irreduzible Faktoren ueber [mm] \IQ, \IR, \IC [/mm] und dem Koerper K aus Teil (a)
Zerleg es erst in 2 quadratische Faktoren und versuch dann, die weiter zu zerlegen.
> (c) Finde die Inversen von x+1 und 2x bzueglich der
> Multiplikation in [mm]Z_{3} [x]/(x^{2}[/mm] +1)
Was weißt du denn über endliche Körper, ihre Erweiterungen und ihre multiplikative Gruppe?
Wenn du jetzt mit ein paar eigenen Überlegungen antwortest (wirf dazu mal einen kurzen Blick auf die Foren-Regeln), wird dir auch weitergeholfen.
Einen ganz herzlichen Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Di 01.08.2006 | | Autor: | mond |
fuer (c):
Finde das Inversen von x+1 und 2x
Ich weiss nur
[mm] x^{2}+1 [/mm] ist im [mm] \IZ [/mm] irreduzible
Die Elemente sind Polynome von Grad [mm] \le [/mm] 1
m=2
1 ist neutrales Element
wenn
a.b=b.a=1=e dann b ist Invere von a
das Inverse von x+1 ist x
das Inverse von x ist x+1
[mm] \Rightarrow
[/mm]
das Inverse von 2x ist 2(x+1)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Di 01.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo mond!
> fuer (c):
> Finde das Inversen von x+1 und 2x
> Ich weiss nur
> [mm]x^{2}+1[/mm] ist im [mm]\IZ[/mm] irreduzible
Vorsicht, du bist hier ueber [mm] $\IZ_3$ [/mm] und nicht ueber [mm] $\IZ$! [/mm] (Da ist es aber auch irreduzibel, weisst du warum?)
> Die Elemente sind Polynome von Grad [mm]\le[/mm] 1
> m=2
> 1 ist neutrales Element
> wenn
> a.b=b.a=1=e dann b ist Invere von a
> das Inverse von x+1 ist x
Wie kommst du dadrauf?! Das stimmt nicht: $(x + 1) x = [mm] x^2 [/mm] + x$. Modulo [mm] $x^2 [/mm] + 1$ ist das jetzt kongruent zu $x - 1$, aber das ist nicht kongruent zu $1$!
Inverse finden kannst du z.B. mit dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mi 02.08.2006 | | Autor: | mond |
Hallo
Ich habe versucht aber nicht gefunden
kannst du mir raten wie kann ich weiter versuchen
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Mi 02.08.2006 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Hallo
> Ich habe versucht aber nicht gefunden
> kannst du mir raten wie kann ich weiter versuchen
> Danke
Es geht um Restklassenring [mm] \IZ_{3}[X]/(X^{2}+1)
[/mm]
[mm] X^{2}+1 [/mm] ist irreduzibel, weil es keine Nullstelle in [mm] \IZ_{3} [/mm] hat. Wenn es reduzibel wäre, zerfiele es in 2 Linearfaktoren und hätte folglich Nullstellen. Daß es keine hat, kann man durch Einsetzen aller Elemente von [mm] \IZ_{3} [/mm] ausprobieren.
Also ist das Ding ein (endlicher) Körper mit 9 Elementen. Die multiplikative Gruppe hat dann 8 Elemente, und du kannst sie auflisten. Berechne einfach die Potenzen von (X+1) mod [mm] (X^{2}+1). [/mm] Ich fang mal an:
[mm] (X+1)^{2} \equiv X^{2} [/mm] + 2X + 1 [mm] \equiv [/mm] 2X mod [mm] (X^{2}+1)
[/mm]
[mm] (X+1)^{3} \equiv [/mm] 2X*(X+1) [mm] \equiv 2*X^{2} [/mm] + 2X [mm] \equiv [/mm] -2 + 2X [mm] \equiv [/mm] 2X + 1 mod [mm] (X^{2}+1)
[/mm]
Versuch das mal bis [mm] (X+1)^{8} [/mm] fortzusetzen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Di 01.08.2006 | | Autor: | mond |
Ist das richtig fuer (a)
[mm] K=\{x + y\cdot{}\wurzel{-5}\}
[/mm]
um k [mm] \in \IC [/mm] ein Unterkoerper wenn gilt
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] k ist: x [mm] \pm [/mm] y [mm] \in [/mm] k und (x.y) und x. [mm] y^{-1} \in [/mm] k, [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in k^{*}
[/mm]
[mm] x=\{a + b\cdot{}\wurzel{-5}\}
[/mm]
[mm] y=\{c + d\cdot{}\wurzel{-5}\}
[/mm]
x [mm] \pm [/mm] y=(a [mm] \pm [/mm] c) + (b [mm] \pm d)\cdot{}\wurzel{-5} \in [/mm] k
[mm] x.y=(\{a + b\cdot{}\wurzel{-5}\}).(\{c + d\cdot{}\wurzel{-5}\})
[/mm]
[mm] x.y=(ac-5bd)+(da+bc)\cdot{}\wurzel{-5} \in [/mm] k
[mm] y^{-1}=(\{c + d\cdot{}\wurzel{-5}\})^{-1}
[/mm]
[mm] y^{-1}=(c/(c^{2}-5d^{2})) +(-d/(c^{2}-5d^{2}))\cdot{}\wurzel{-5} \in [/mm] k
[mm] y^{-1}=(\{ a_{1}+ b_{1}\cdot{}\wurzel{-5}\}) \in [/mm] k
[mm] \Rightarrow x.y^{-1}=(\{a + b\cdot{}\wurzel{-5}\}) (\{ a_{1}+ b_{1}\cdot{}\wurzel{-5}\}) \in [/mm] k
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Di 01.08.2006 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ist das richtig fuer (a)
> [mm]K=\{x + y\cdot{}\wurzel{-5}\}[/mm]
> um k [mm]\in \IC[/mm] ein
> Unterkoerper wenn gilt
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] k ist: x [mm]\pm[/mm] y [mm]\in[/mm] k und (x.y) und x.
> [mm]y^{-1} \in[/mm] k, [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in k^{*}[/mm]
>
> [mm]x=\{a + b\cdot{}\wurzel{-5}\}[/mm]
> [mm]y=\{c + d\cdot{}\wurzel{-5}\}[/mm]
>
> x [mm]\pm[/mm] y=(a [mm]\pm[/mm] c) + (b [mm]\pm d)\cdot{}\wurzel{-5} \in[/mm] k
> [mm]x.y=(\{a + b\cdot{}\wurzel{-5}\}).(\{c + d\cdot{}\wurzel{-5}\})[/mm]
>
> [mm]x.y=(ac-5bd)+(da+bc)\cdot{}\wurzel{-5} \in[/mm] k
> [mm]y^{-1}=(\{c + d\cdot{}\wurzel{-5}\})^{-1}[/mm]
>
> [mm]y^{-1}=(c/(c^{2}-5d^{2})) +(-d/(c^{2}-5d^{2}))\cdot{}\wurzel{-5} \in[/mm]
> k
> [mm]y^{-1}=(\{ a_{1}+ b_{1}\cdot{}\wurzel{-5}\}) \in[/mm] k
>
> [mm]\Rightarrow x.y^{-1}=(\{a + b\cdot{}\wurzel{-5}\}) (\{ a_{1}+ b_{1}\cdot{}\wurzel{-5}\}) \in[/mm]
> k
Es steht alles irgendwie da, aber ich vermisse einen begründenden Text. Als Tutor würde ich das so nicht akzeptieren.
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:20 Mi 16.08.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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