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| Aufgabe | Es sei V ein K-Vektorraum und A [mm] \subset [/mm] V eine Teilmenge. Dann ist äqivalent:
(i) A ist ein affiner Unterraum von V, d.h. A ist leer, oder es existieren ein Vektor a [mm] \in [/mm] V sowie ein linearer Unterraum U [mm] \subset [/mm] V mit A = a+U.
(ii) Es existiert ein Vektorraum V' und eine K-lineare Abbildung f: V [mm] \to [/mm] V', so dass A eine Faser von f ist, d.h. es existiert ein a' [mm] \in [/mm] V' mit A= [mm] f^{-1} [/mm] (a').
(iii) A ist abgeschlossen unter Affinenkombination, dh: Für jeweils endlich viele Elemente [mm] a_{0}, [/mm] ..., [mm] a_{r} \in [/mm] A sowie Koeffizienten [mm] \alpha_{0}, [/mm] ..., [mm] \alpha_{r} \in [/mm] K mit [mm] \summe_{i=0}^{r} \alpha_{i}=1 [/mm] folgt [mm] \summe_{i=0}^{r} \alpha_{i} a_{i} \in [/mm] A. |
Hallo liebe Community...
habe nun Semesterferien und endlich Zeit den gesamten Vorlesungsstoff durch zu arbeiten und bei diesen äquivalten Sätzen stosse ich auf ein Problem und zwar bei dem Beweis zur Äquivalenz von (iii) \ to (i).
der beweis lautet wie folgt:
Es gelte (iii). Wir wählen ein beliebiges Element [mm] a_{0} \in [/mm] A und zeigen, dass [mm] \Delta [/mm] A := [mm] {a-a_{0} ; a \in A} [/mm] ein libeare Unterraum von V ist; dann ist A = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] \Delta [/mm] A ein affiner Unterrazm, wie für (i) gewünscht. Wir müssen also zeigen, dass [mm] \Delta [/mm] A nicht leer ist, sowie unter Addition und Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen.
Wegen 0 [mm] \in \Delta [/mm] A (wähle a:= [mm] a_{0}) [/mm] ist [mm] \Delta [/mm] A [mm] \not [/mm] = [mm] \emptyset. [/mm] Sind a,b [mm] \in \Delta [/mm] A, etwa a= [mm] a_{1} [/mm] - [mm] a_{0} [/mm] und [mm] b=b_{1} [/mm] - [mm] a_{0} [/mm] mit [mm] a_{1}, b_{1} \in [/mm] A, so folgt [mm] 1a_{1} [/mm] + (-1) [mm] a_{0} [/mm] + 1 [mm] b_{1} \in [/mm] A gemäß (iii) (da 1-1+1=1)
(so an dieser Stelle beginnen meine Probleme wie komme ich auf die Koeffinzienten vor dem a bzw b?)
weiter geht der Beweis: und damit
a+b= [mm] (a_{1} [/mm] - [mm] a_{0} [/mm] + [mm] b_{1})- a_{0} \in \Delta [/mm] A.
Für beliebige [mm] \alpha \in [/mm] K gilt analog [mm] \alpha a_{1} [/mm] + (1- [mm] \alpha) a_{0} \in [/mm] A wegen (iii)
(hier liegt ein weiteres Problem von mir wie komm ich auf [mm] 1-\alpha?)
[/mm]
weiter mit dem Beweis:
und daher [mm] \alpha [/mm] a = [mm] \alpha a_{1} [/mm] - [mm] \alpha a_{0}= (\alpha a_{1} [/mm] + (1- [mm] \alpha) a_{0}) [/mm] - [mm] a_{0} \in \Delta [/mm] A.
so kann mir jemand diese 2 Stellen im Beweis erklären?...wäre echt dankbar...
dann hab ich noch eine allgemeinere Frage und zwar. habe ich mittlerweile keine Probleme mehr den Vorlesunggsstoff zu verstehen mein Problem besteht nun eher da drin dies in eigenständige Beweise ein zu betten...
kann man das irgendwie üben ein Auge für Beweise selbst schreiben zu bekommen oder muss da sprichwörtlich irgendwann der Knoten aufgehen?
Ich bin über jede Hilfe dankbar
LG Schmetterfee
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> Es sei V ein K-Vektorraum und A [mm]\subset[/mm] V eine Teilmenge.
> Dann ist äqivalent:
> (i) A ist ein affiner Unterraum von V, d.h. A ist leer,
> oder es existieren ein Vektor a [mm]\in[/mm] V sowie ein linearer
> Unterraum U [mm]\subset[/mm] V mit A = a+U.
> (ii) Es existiert ein Vektorraum V' und eine K-lineare
> Abbildung f: V [mm]\to[/mm] V', so dass A eine Faser von f ist, d.h.
> es existiert ein a' [mm]\in[/mm] V' mit A= [mm]f^{-1}[/mm] (a').
> (iii) A ist abgeschlossen unter Affinenkombination, dh:
> Für jeweils endlich viele Elemente [mm]a_{0},[/mm] ..., [mm]a_{r} \in[/mm] A
> sowie Koeffizienten [mm]\alpha_{0},[/mm] ..., [mm]\alpha_{r} \in[/mm] K mit
> [mm]\summe_{i=0}^{r} \alpha_{i}=1[/mm] folgt [mm]\summe_{i=0}^{r} \alpha_{i} a_{i} \in[/mm]
> A.
> Hallo liebe Community...
>
> habe nun Semesterferien und endlich Zeit den gesamten
> Vorlesungsstoff durch zu arbeiten und bei diesen
> äquivalten Sätzen stosse ich auf ein Problem und zwar bei
> dem Beweis zur Äquivalenz von (iii) \ to (i).
> der beweis lautet wie folgt:
>
> Es gelte (iii). Wir wählen ein beliebiges Element [mm]a_{0} \in[/mm]
> A und zeigen, dass [mm]\Delta[/mm] A := [mm]{a-a_{0} ; a \in A}[/mm] ein
> libeare Unterraum von V ist; dann ist A = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]\Delta[/mm] A
> ein affiner Unterrazm, wie für (i) gewünscht. Wir müssen
> also zeigen, dass [mm]\Delta[/mm] A nicht leer ist, sowie unter
> Addition und Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen.
> Wegen 0 [mm]\in \Delta[/mm] A (wähle a:= [mm]a_{0})[/mm] ist [mm]\Delta[/mm] A [mm]\not[/mm]
> = [mm]\emptyset.[/mm] Sind a,b [mm]\in \Delta[/mm] A, etwa a= [mm]a_{1}[/mm] - [mm]a_{0}[/mm]
> und [mm]b=b_{1}[/mm] - [mm]a_{0}[/mm] mit [mm]a_{1}, b_{1} \in[/mm] A,
[mm] (\*)
[/mm]
> so folgt [mm]1a_{1}[/mm]
> + (-1) [mm]a_{0}[/mm] + 1 [mm]b_{1} \in[/mm] A gemäß (iii) (da 1-1+1=1)
> (so an dieser Stelle beginnen meine Probleme wie komme ich
> auf die Koeffinzienten vor dem a bzw b?)
> weiter geht der Beweis: und damit
> [mm] \in \Delta[/mm] [/mm] A.
Hallo,
ich mache bei [mm] (\*) [/mm] statt der abgesetzten passage mal geringfügig anders weiter als in Deinem Skript, was die Sache klären dürfte.
Es ist nun zu zeigen, daß [mm] a+b\in \Delta [/mm] A.
Es ist a+b= [mm](a_{1}[/mm] - [mm]a_{0}[/mm] + [mm] b_{1})- a_{0},
[/mm]
und um zu zeigen, daß dies in [mm] \Delta [/mm] A liegt, muß aufgrund der Def. von [mm] \Delta [/mm] A untersucht werden, ob das Element [mm](a_{1}[/mm] - [mm]a_{0}[/mm] + [mm] b_{1}) [/mm] in A liegt.
[mm] a_0, a_1, b_1 [/mm] sind in A.
A ist nach Voraussetzung abgeschlossen unter Affinkombination,
also ist [mm](a_{1}[/mm] - [mm]a_{0}[/mm] + [mm] b_{1})=1a_1+(-1)a_0+1b_1 \in [/mm] A wegen 1+(-1)+1=1.
Somit ist a+b [mm] \in \Delta [/mm] A.
Die andere Stelle erklärt sich analog, versuche es, wenn Dir wirklich bis hierher alles klar ist, anschließend allein.
> Für beliebige [mm]\alpha \in[/mm] K gilt analog [mm]\alpha a_{1}[/mm] + (1-
> [mm]\alpha) a_{0} \in[/mm] A wegen (iii)
> (hier liegt ein weiteres Problem von mir wie komm ich auf
> [mm]1-\alpha?)[/mm]
> weiter mit dem Beweis:
> und daher [mm]\alpha[/mm] a = [mm]\alpha a_{1}[/mm] - [mm]\alpha a_{0}= (\alpha a_{1}[/mm]
> + (1- [mm]\alpha) a_{0})[/mm] - [mm]a_{0} \in \Delta[/mm] A.
>
> so kann mir jemand diese 2 Stellen im Beweis
> erklären?...wäre echt dankbar...
>
> dann hab ich noch eine allgemeinere Frage und zwar. habe
> ich mittlerweile keine Probleme mehr den Vorlesunggsstoff
> zu verstehen mein Problem besteht nun eher da drin dies in
> eigenständige Beweise ein zu betten...
> kann man das irgendwie üben ein Auge für Beweise selbst
> schreiben zu bekommen oder muss da sprichwörtlich
> irgendwann der Knoten aufgehen?
Beides.
Immer wieder üben. Schauen, was in den Musterlösungen anders ist, der Sache auf den Grund gehen, warum das richtiger ist.
Sich bei jeder Folgerung, die man hinschreibt, fragen: "warum eigentlich?", und eine schlüssige Antwort suchen.
Schlüssig ist vor allem alles, was mit Sätzen aus der Vorlesung begründet werden kann.
Dann muß natürlich das Material bereitliegen, also die genaue Kenntnis der Definitionen und Sätze - sonst kann's nicht klappen.
Zeit investieren.
Thema Übungsblätter: es ist eine Illusion, diese "gerade mal so" an einem nachmittag oder Abend runterrechnen zu können.
Einige wenige können das - ich konnt's nie. Ich mußte am Tag nach der Ausgabe beginnen, um fertig zu werden - was mir allerdings auch erst nach einiger Zeit aufgegangen ist.
Gruß v. Angela
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Danke Angela für die schnelle Antwort...jetzt habe auch ich es verstanden...
es ist zwar noch ein langer Weg aber wenigstens versteh ich die Vorlesungsbeweise und jetzt werd ich verstärkt daran üben dies auch selbstständig hin zu bekommen...
LG Schmetterfee
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