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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:31 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Lealine |
| Aufgabe | Seien P1,P2,P3 [mm] \in \IR^{3} [/mm] gegeben durch [mm] P1={1;0;0}^{T}, P2={0;1;0}^{T}, P3={0;0;3}^{T}, [/mm] und sei E [mm] \subseteq \IR^{3} [/mm] die Ebene , die P1,P2,P3 enthält. Geben sie eine Matrix A und einen Vektor b an, sodass
E = {x = [mm] (x1,x2,x3)^{T} \in \IR^{3} [/mm] |Ax=b} |
ich wünsche erstmal eine guten Morgen!
ich versuche diese aufgabe zu lösen und komme einfach nicht weiter...
wie soll ich denn eine Matrix finden, bei der ich nicht die Lösungsmenge weiß?
oder ist die matrix durch p1,p2,p3 gegeben?
könnt ihr mir helfen???
liebe Grüße
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Hallo,
Deine Punkte sind ja so freundlich gegeben, daß Du schnell die ![[]](/images/popup.gif) Achsenabschnittsform der Ebenengleichung bekommst, welche Du dann nur noch ein wenig umfrisieren und toupieren mußt, um solch eine Matrix zu bekommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Lealine |
hallo angela,
danke erstmal für deine schnelle antwort!!
OHH gott, ich verstehe leider gar nicht was du meinst!
also meine P sind alle linear unabhänig und bilden wohl eien basis zu [mm] R^3.also [/mm] E soll die Lösungsmenge meines Ax=b.
ich dachte eigentlich, dass x= {1;1;3}.
Dann habe ich
1 0 0 1
0 1 0 1 = (A,x)
0 0 1 3
habe ich hier den richtigen ansatz?
danke für deine Hilfe.
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> E soll die Lösungsmenge meines
> Ax=b.
> ich dachte eigentlich, dass x= {1;1;3}.
Das kann ja nicht sein.
Die Lösungsmenge soll ja die beschriebene Ebene sein, die umfaßt ein paar mehr Punkte als einen.
Hast Du denn die Achsenabschnittsform der Ebenengleichung einmal aufgestellt?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Lealine |
hallo angela,
vielen dank nochmal!
Die achsen abschnittsform ist: [mm] x1+x2+\bruch{x3}{3} [/mm] = 1
aber was bringt mir das??
Ich glaube ich habe eibfach die ganze aufgabe noch nicht verstandemn. Für mich ist es im Moment so, dass ich eine Lösung(bzw Lösungsmenge, die einen affinen unteraum bildet) habe und dazu ein passendes Gleichungssystem finden soll. Das wäre für mich allerdings reinste raterei, was sicher nicht der sinn ist!
danke für dine geduldigen antworten...
wahrscheinlich ist die aufgabe sehr einfach, ich steh nur aufm schlauch...
Liebe Grüße
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> Die achsen abschnittsform ist: [mm]x1+x2+\bruch{x3}{3}[/mm] = 1
> aber was bringt mir das??
> Ich glaube ich habe eibfach die ganze aufgabe noch nicht
> verstandemn. Für mich ist es im Moment so, dass ich eine
> Lösung(bzw Lösungsmenge, die einen affinen unteraum bildet)
> habe und dazu ein passendes Gleichungssystem finden soll.
Ja, so ist das ja auch.
Du hast eine Ebene gegeben, und nun suchst Du ein Gleichungssystem, dessen Lösungen in ihrer Gesamtheit die Ebene bilden.
Das heißt, Du suchst ein Gleichungssystem, welches von sämtlichen Punkten der vorgegebenen Ebene gelöst wird.
Dafür bringt Dir die Achsenabschnittsform viel: Du weißt, daß jedes [mm] x:=\vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3}, [/mm] welches die Gleichung [mm] x_1+x_2+\bruch{x_3}{3}= [/mm] 1 erfüllt, in der vorgegebenen Ebene liegt.
Nun puschel dieses GS (welches aus einer Gleichung besteht) durch Nullen auf.
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}*x_3= [/mm] 1
[mm] 0*x_1 [/mm] + [mm] 0*x_2 [/mm] + [mm] 0*x_3= [/mm] 0
[mm] 0*x_1 [/mm] + [mm] 0*x_2 [/mm] + [mm] 0*x_3= [/mm] 0
Jetzt kannst Du Matrix und Vektor ablesen, oder?
Gruß v. Angela
P.S.: wenn Du die Achsenabschnittform nicht weißt/kannst/findest,
bekommst Du die Koordinatenform der Ebenengleichung (ax+by+cz+d=0) auch aus der Normalenform oder - etwas mühsamer, indem Du aus der Parameterform die Parameter eliminierst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Di 08.05.2007 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
ich habe mir die Aufgabe grade mal durchgelesen und denke auch sie verstanden zu haben. (Also gilt als Lösung wirklich A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & \bruch{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] und bei b= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ??, das hätte man ja auch schon direkt an der Aufgabe ablesen können, oder?).
Ich hab selber eine ähnliche Aufgabe:
Beschreibe die Gerade
[mm] \Delta [/mm] = { x = [mm] (x_{1},x_{2},x_{3})^{T} \in IR^{3}| (x_{1},x_{2},x_{3})^{T}} [/mm] = [mm] (1,0,0)^{T} [/mm] + [mm] \lambda*(1,2,3)^{T}
[/mm]
als Lösung eines Linearen Gleichungssystems.
Wie geht man bei dieser Aufgabe vor, irgendwie funktioniert dieser Weg hier nicht.
Bin dankbar für jede Hilfe.
MFG
K.
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> ich habe mir die Aufgabe grade mal durchgelesen und denke
> auch sie verstanden zu haben. (Also gilt als Lösung
> wirklich A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & \bruch{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> und bei b= [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] ??, das hätte man ja auch
> schon direkt an der Aufgabe ablesen können, oder?).
Hallo,
ja, wenn man das mit der Achsenabschnittsform parat hat, dann ja.
Dein Beispiel eine schöne Ergänzung.
>
> Ich hab selber eine ähnliche Aufgabe:
> Beschreibe die Gerade
> [mm]\Delta[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { x = [mm](x_{1},x_{2},x_{3})^{T} \in IR^{3}| (x_{1},x_{2},x_{3})^{T}}[/mm]
> = [mm](1,0,0)^{T}[/mm] + [mm]\lambda*(1,2,3)^{T}[/mm]
> als Lösung eines Linearen Gleichungssystems.
>
> Wie geht man bei dieser Aufgabe vor, irgendwie funktioniert
> dieser Weg hier nicht.
>
Schreib Dir das zur Geraden gehörende GS auf:
[mm] x_1=1 [/mm] + [mm] \lambda
[/mm]
[mm] x_2= 2\lambda
[/mm]
[mm] x_3= 3\lambda
[/mm]
hieraus eliminierst Du [mm] \lambda.
[/mm]
Du behältst zwei Gleichungen, die von [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] abhängen.
Dann: Nullzeile, Matrix, wie gehabt.
Daß Du nun zwei Gleichungen hast ist nicht so erstaunlich.
Du willst ja eine Lösung der Dimension 1 bekommen, also muß die Matrix den Rang 2 haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Di 08.05.2007 | | Autor: | kuminitu |
Vielen dank für die erklärung!!
Also mein ergebnis lautet jetzt: $ [mm] \pmat{ 1 & \bruch{-1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \bruch{-2}{3} \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $ = $ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] $.
Ist das korrekt?
MFG
K
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> Also mein ergebnis lautet jetzt: [mm]\pmat{ 1 & \bruch{-1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \bruch{-2}{3} \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm].
>
> Ist das korrekt?
Ja.
Gruß v. Angela
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Zunächst einmal müsste klar sein, dass [mm] P_1, P_2 [/mm] und [mm] P_3 [/mm] Punkte von E sind und nicht Vektoren sind (wenn du oben ein T anhängst, wären es Spaltenvektoren; das kann aber nicht sein, da diese 3 Vektoren einen Raum aufspannen würden).
Nun stellst du eine Gleichung für die Ebene auf (das hast du ja schon getan). Versuche nun, diese in eine Parameterform mit Vektorschreibweise zu bringen. Dann hast du eine Darstellung für alle Vektoren, die vom Ursprung in die Ebene zeigen.
Dann sollst du eine Matrix A finden, die alle (!) diese Vektoren auf irgend einen beliebigen, aber festen Vektor abbildet. Natürlich geht das sofort mit der Nullmatrix, aber es gibt auch eine Matrix, die alle diese Vektoren auf ein b [mm] \ne [/mm] 0 abbildet.
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