Affine Räume < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Mi 06.06.2012 | | Autor: | huzein |
Hallo, ich bräuchte eine kurze Erläuterung zu affinen Räumen. Ich fange mal an: Definiert haben wir affine Räume wie folgt:
Sei X eine Menge, V ein K-VR und [mm] \tau:V\to\mathbb{S}(X):=\{f:X\to X:f \text{ ist bijektiv }\} [/mm] eine einfach transitive Operation von (V,+) (additive Gruppe von V) auf X. Dann heißt das Tripel [mm] (X,V,\tau) [/mm] affiner Raum.
Dann finde ich folgendes: Ist [mm] v\in [/mm] V, dann ist [mm] $\tau_v:X\to [/mm] X eine Bijektion und es gilt
(*) [mm] \tau_v(p)=p+v [/mm] für [mm] p\in [/mm] X.
Gilt (*) für alle affinen Räume oder nur für affine Unterräume des [mm] \mathbb R^n?
[/mm]
Das wäre zunächst meine Frage.. Hoffe jemand kann mir diese Frage schnell beantworten.
Gruß,
(Hab die Frage in keinem anderen Forum gestellt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Do 07.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo, ich bräuchte eine kurze Erläuterung zu affinen
> Räumen. Ich fange mal an: Definiert haben wir affine
> Räume wie folgt:
>
> Sei X eine Menge, V ein K-VR und
> [mm]\tau:V\to\mathbb{S}(X):=\{f:X\to X:f \text{ ist bijektiv }\}[/mm]
> eine einfach transitive Operation von (V,+) (additive
> Gruppe von V) auf X. Dann heißt das Tripel [mm](X,V,\tau)[/mm]
> affiner Raum.
>
> Dann finde ich folgendes: Ist [mm]v\in[/mm] V, dann ist [mm]$\tau_v:X\to[/mm]
> X eine Bijektion und es gilt
> (*) [mm]\tau_v(p)=p+v[/mm] für [mm]p\in[/mm] X.
>
> Gilt (*) für alle affinen Räume oder nur für affine
> Unterräume des [mm]\mathbb R^n?[/mm]
(Du meinst eher [mm] $K^n$ [/mm] anstelle [mm] $\IR^n$. [/mm] Schliesslich ist $V$ ein $K$-Vektorraum. Weiterhin kann $V$ unendlichdimensional sein, womit auch affine Unterraeume von groesseren Vektorraeumen dabei sein koennen.)
Normalerweise verwendet man (*), um die Addition von Elementen aus $X$ mit Vektoren aus $V$ zu definieren.
Falls $X$ in einem groesseren Vektorraum $W$ liegt (wobei $V$ ein UVR von $W$ ist), dann kann man durch (*) die Operation von $V$ auf $X$ definieren -- zumindest falls $X$ eine affine Teilmenge (im klassischen Sinne) ist.
Jeder affine Raum ist "isomorph" (in einem bestimmten Sinne) zu einer affinen Teilmenge $X$ von einem groesseren VR $W$ mit $V [mm] \subseteq [/mm] W$ (UVR).
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:44 Do 07.06.2012 | | Autor: | huzein |
> (Du meinst eher [mm]K^n[/mm] anstelle [mm]\IR^n[/mm].
ja, na klar.
>
> Normalerweise verwendet man (*), um die Addition von
> Elementen aus [mm]X[/mm] mit Vektoren aus [mm]V[/mm] zu definieren.
>
> Falls [mm]X[/mm] in einem groesseren Vektorraum [mm]W[/mm] liegt (wobei [mm]V[/mm] ein
> UVR von [mm]W[/mm] ist), dann kann man durch (*) die Operation von [mm]V[/mm]
> auf [mm]X[/mm] definieren -- zumindest falls [mm]X[/mm] eine affine Teilmenge
> (im klassischen Sinne) ist.
ok das heißt also ein Punkt p in X muss dieselbe Anzahl an Koordinaten haben wie Vektoren (Translationen) v in V, denn ansonsten würde [mm] \tau_v(p)=p+v [/mm] wenig Sinn machen.
Liege ich damit richtig?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Sa 09.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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