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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Mo 08.12.2014 | | Autor: | Lisa641 |
| Aufgabe | Betrachte die folgenden affinen Unterräume von [mm] A_{4}(\IR):
[/mm]
[mm] A_{1}= <\vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1}>_{a} [/mm] , [mm] A_{2}= <\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1},\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}>_{a},
[/mm]
[mm] A_{3}= \{ \vektor{ x_{1} \\ x_{2}\\x_{3} \\x_{4} \\ 1} \in A_{4}(\IR)| x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+1, x_{1}-x_{2}+x_{3}=2\}
[/mm]
Bestimme die affinen Dimensionen de [mm] A_{i}. [/mm] Welche de Räume sind (schwach) parallel oder windschief? |
Hey, als Hausaufgabe habe ich diese Aufgabe zu lösen und komme leider nicht weiter.
Ist die Dimension einfach [mm] dim(A_{1}) [/mm] = 2 , [mm] dim(A_{2}) [/mm] = 3 und [mm] dim(A_{3})= \{ \vektor{\bruch{3}{2} \\ \bruch{-1}{2}\\0 \\0 \\ 1} + a \vektor{-1 \\ 0\\1\\0 \\ 1} + b\vektor{ \bruch{-1}{2} \\ \bruch{-1}{2}\\0 \\1 \\ 0}\}
[/mm]
Beim letzten habe ich die zwei Gleichungen in [mm] A_{3} [/mm] als Matrix aufgeschrieben, also [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 &1 &1 \\ 1 & -1 & 1 &0& 2 } [/mm] und dies gaußen.
Wie mache ich das denn mit dem zweiten Teil der Aufgabe?
Danke :)
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> Betrachte die folgenden affinen Unterräume von
> [mm]A_{4}(\IR):[/mm]
>
> [mm]A_{1}= <\vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1}>_{a}[/mm]
> , [mm]A_{2}= <\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1},\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}>_{a},[/mm]
Hallo,
ich nehme doch stark an, daß der Index a bedeuten soll, daß hier die affine Hülle gemeint ist und nicht die lineare.
Dementsprechend solltest Du nochmal in Deinen Unterlagen die entsprechende Definition nachschlagen und die Dimensionen neu bedenken.
>
> [mm]A_{3}= \{ \vektor{ x_{1} \\ x_{2}\\x_{3} \\x_{4} \\ 1} \in A_{4}(\IR)| x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+1, x_{1}-x_{2}+x_{3}=2\}[/mm]
>
> Bestimme die affinen Dimensionen de [mm]A_{i}.[/mm] Welche de Räume
> sind (schwach) parallel oder windschief?
> Hey, als Hausaufgabe habe ich diese Aufgabe zu lösen und
> komme leider nicht weiter.
> Ist die Dimension einfach [mm]dim(A_{1})[/mm] = 2 , [mm]dim(A_{2})[/mm] = 3
s.o.
> und [mm]dim(A_{3})= \{ \vektor{\bruch{3}{2} \\ \bruch{-1}{2}\\0 \\0 \\ 1} + a \vektor{-1 \\ 0\\1\\0 \\ 1} + b\vektor{ \bruch{-1}{2} \\ \bruch{-1}{2}\\0 \\1 \\ 0}\}[/mm]
Was Du hier stehen hast, ist ganz sicher nicht die Dimension von [mm] A_3.
[/mm]
Es ist [mm] A_3 [/mm] in anderer Darstellung.
Richtig müßte es heißen:
[mm] A_3= \{ \vektor{\bruch{3}{2} \\ \bruch{-1}{2}\\0 \\0 \\ 1} + a \vektor{-1 \\ 0\\1\\0 \\ \red{0}} + b\vektor{ \bruch{-1}{2} \\ \bruch{-1}{2}\\0 \\1 \\ 0}|a,b\in K\}.
[/mm]
Nun wäre die affine Dimension zu bestimmen.
Wie ist sie definiert?
>
> Beim letzten habe ich die zwei Gleichungen in [mm]A_{3}[/mm] als
> Matrix aufgeschrieben, also [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 &1 &1 \\ 1 & -1 & 1 &0& 2 }[/mm]
> und dies gaußen.
>
>
> Wie mache ich das denn mit dem zweiten Teil der Aufgabe?
Erstmal nachschlagen und mitteilen, wie windschief und (schwach) parallel definiert sind.
Anhand dieser Definition dann prüfen.
Merkst Du was? Ohne die Definitionen geht's nicht.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Di 09.12.2014 | | Autor: | Lisa641 |
erstmal danke für deine Antwort. Die Definitionen habe ich vor mir aufgeschlagen, komme damit aber leider nicht klar.
kannst du mir vllt mal die Schritte erklären, die ich machen muss, damit ich auf die Dimension komme?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Di 09.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Eine Teilmenge A eines Vektorraums V heißt affiner Unterraum, wenn es einen Vektor [mm] $v_0 \in [/mm] V$ und einen Untervektorraum U von V gibt mit:
$A = [mm] v_0 [/mm] + U [mm] :=\{v + u : u \in U_A\} [/mm] $
Definition: dim A:= dim U.
Nehmen wir mal [mm] A_3 [/mm] aus Deiner Aufgabe:
$ [mm] A_3= \{ \vektor{\bruch{3}{2} \\ \bruch{-1}{2}\\0 \\0 \\ 1} + a \vektor{-1 \\ 0\\1\\0 \\ 0} + b\vektor{ \bruch{-1}{2} \\ \bruch{-1}{2}\\0 \\1 \\ 0}|a,b\in K\}. [/mm] $
Ist U die lineare Hülle der Vektoren [mm] \vektor{-1 \\ 0\\1\\0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{ \bruch{-1}{2} \\ \bruch{-1}{2}\\0 \\1 \\ 0} [/mm] und setzen wir
[mm] v_0:=\vektor{\bruch{3}{2} \\ \bruch{-1}{2}\\0 \\0 \\ 1},
[/mm]
so ist
[mm] $A_3=v_0+U$
[/mm]
Was ist dim U ? Was ist dann dim [mm] A_3 [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Di 09.12.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Danke für deine schnelle Antwort.
Ist dann die Dimenison von U dim(U)=2 bzw. dim(A)=2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Di 09.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine schnelle Antwort.
> Ist dann die Dimenison von U dim(U)=2 bzw. dim(A)=2?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Di 09.12.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Und wie mache ich das bei den anderen beiden? Darf ich mir dort einen Vektor für [mm] v_{0} [/mm] und U aussuchen? Dann wäre die Dimension von [mm] A_{2} [/mm] 2 und von [mm] A_{1} [/mm] 1? Stimmt das so oder habe ich einen Denkfehler?
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> Und wie mache ich das bei den anderen beiden? Darf ich mir
> dort einen Vektor für [mm]v_{0}[/mm] und U aussuchen?
Hallo,
ich weiß nicht genau, was Du damit meinst.
> Dann wäre
> die Dimension von [mm]A_{2}[/mm] 2 und von [mm]A_{1}[/mm] 1? Stimmt das so
Das stimmt zwar, aber ich habe ein ungutes Gefühl...
> oder habe ich einen Denkfehler?
Vielleicht.
Man weiß es nur genau, wenn Du mal sagst, was genau Du gerechnet/überlegt hast.
Was ist bei Dir etwa bei [mm] A_1 [/mm] Dein [mm] v_0 [/mm] und was U?
Wie ist denn affine Hülle überhaupt definiert?
LG Angela
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