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Hallo, habe paar ganz simple Fragen, hoffe ihr könnt mir helfen, denn ich kanns mir irgendwie nicht erklären. also:
1) Es gibt eine Kongruenzabbildung [mm] f:\IR^2\to\IR^2, [/mm] die [mm] x^2+y^2=1 [/mm] in [mm] x^2-y^2=1 [/mm] überführt. Die Antwort ist falsch
2) Es gibt eine affine Abbildung [mm] f:\IR^2\to\IR^2, [/mm] die [mm] x^2+y^2=1 [/mm] in [mm] x^2-y^2=1 [/mm] überführt. Die Antwort ist falsch
3) Es gibt eine affine Abbildung [mm] f:\IR^2\to\IR^2, [/mm] die [mm] x^2+y^2=1 [/mm] in [mm] x^2+y^2=2 [/mm] überführt. Die Antwort ist wahr.
Meine Frage, wie kontrolliert man das? Komm gerade nicht darauf, wie man auf diese wahr und falsch kommt.
4) Ist [mm] f:\IR^2\to\IR^2 [/mm] eine Spiegelung, darauf folgt das f eine Isometrie ist. Anwort wahr.
Frage, das gilt aber nur für [mm] \IR^2\to\IR^2 [/mm] , oder gilt das auch für höhere Dimensionen?
EDIT:
Also ich kann gerne nochmal die Def. hier aufschreiben, aber ich konnte anhand dieser leider nicht mehr mit der Aufgabe anfangen:
1. Eine lineare Abbildung $ [mm] f:\IR^n\to\IR^n [/mm] $ heißt Kongruenzabbildung, wenn es eine orthogonale Matrix $ [mm] S\in [/mm] $ O(n) und einen Vektor $ [mm] p\in\IR^n, [/mm] $ so dass f(x)=Sx+p gilt.
Bem:
Multiplikation mit S entspricht einer Drehung (evtl. Spiegelung) des Koordinatensystems und die Addtion mit p entspricht einer Verschiebung.
2. Eine Abbildung $ [mm] f:\IR^n\to\IR^n [/mm] $ heißt affine Transformation, wenn es eine invertierbare Matrix S und einen Vektor $ [mm] p\in\IR^n, [/mm] $ so dass f(x)=Sx+p gilt.
Bem:
Geometrisch lässt man auch Streckungen und Stauchungen zu.
3. Ein Endomorphismus $ [mm] f:V\to [/mm] $ V zwischen euklidischen und unitären VR'en heißt Isometrie, wenn <v,w>=<f(v),f(w)> für alle $ [mm] v,w\in [/mm] $ V gilt. Solche Abbildungen erhalten Abstände und Winkel zwischen zwei Vektoren.
So, soviel zu den Def. Es ist jetzt bestimmt nur noch stures nachprüfen der Def., trotzdem weiß ich gerade nicht, wie man das machen muss.
Danke für Hilfe.
Gruß
Danke für hilfe.
Gruß
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> Hallo, habe paar ganz simple Fragen, hoffe ihr könnt mir
> helfen, denn ich kanns mir irgendwie nicht erklären. also:
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> 1) Es gibt eine Kongruenzabbildung [mm]f:\IR^2\to\IR^2,[/mm] die
> [mm]x^2+y^2=1[/mm] in [mm]x^2-y^2=1[/mm] überführt. Die Antwort ist falsch
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> 2) Es gibt eine affine Abbildung [mm]f:\IR^2\to\IR^2,[/mm] die
> [mm]x^2+y^2=1[/mm] in [mm]x^2-y^2=1[/mm] überführt. Die Antwort ist falsch
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> 3) Es gibt eine affine Abbildung [mm]f:\IR^2\to\IR^2,[/mm] die
> [mm]x^2+y^2=1[/mm] in [mm]x^2+y^2=2[/mm] überführt. Die Antwort ist wahr.
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> Meine Frage, wie kontrolliert man das? Komm gerade nicht
> darauf, wie man auf diese wahr und falsch kommt.
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> 4) Ist [mm]f:\IR^2\to\IR^2[/mm] eine Spiegelung, darauf folgt das f
> eine Isometrie ist. Anwort wahr.
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> Frage, das gilt aber nur für [mm]\IR^2\to\IR^2[/mm] , oder gilt das
> auch für höhere Dimensionen?
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> EDIT:
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> Also ich kann gerne nochmal die Def. hier aufschreiben,
> aber ich konnte anhand dieser leider nicht mehr mit der
> Aufgabe anfangen:
> [mm] \green{lineare} [/mm] Abbildung [mm]f:\IR^n\to\IR^n[/mm] heißt
> Kongruenzabbildung, wenn es eine orthogonale Matrix [mm]S\in[/mm]
> O(n) und einen Vektor [mm]p\in\IR^n,[/mm] so dass f(x)=Sx+p gilt.
Hallo,
"lineare Abbildung" steht da im Original nicht, oder?
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> Bem:
> Multiplikation mit S entspricht einer Drehung (evtl.
> Spiegelung) des Koordinatensystems und die Addtion mit p
> entspricht einer Verschiebung.
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> 2. Eine Abbildung [mm]f:\IR^n\to\IR^n[/mm] heißt affine
> Transformation, wenn es eine invertierbare Matrix S und
> einen Vektor [mm]p\in\IR^n,[/mm] so dass f(x)=Sx+p gilt.
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> Bem:
> Geometrisch lässt man auch Streckungen und Stauchungen
> zu.
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> 3. Ein Endomorphismus [mm]f:V\to[/mm] V zwischen euklidischen und
> unitären VR'en heißt Isometrie, wenn <v,w>=<f(v),f(w)> für
> alle [mm]v,w\in[/mm] V gilt. Solche Abbildungen erhalten Abstände
> und Winkel zwischen zwei Vektoren.
>
> So, soviel zu den Def. Es ist jetzt bestimmt nur noch
> stures nachprüfen der Def., trotzdem weiß ich gerade nicht,
> wie man das machen muss.
>
Ich habe mich umentschieden: wenn Ihr das so aufgeschrieben habt, würde ich gar nicht die Definitionen prüfen, sondern mich an den Bemerkungen festhalten, die Ihr dazu aufgeschrieben habt.
überlege Dir erstmal, was für Gebilde x²+y²=1, x²+y²=2 und x² -y²=1 beschreiben.
Nun die Bem. zur Kongruenz: welch dieser Gebilde sind kongruent (deckungsgleich)?
Welche könnenn durch Drehen,Spiegeln, Verschieben, Stauchen, Strecken auseinander hervorgehen?
Zu den Spiegelungen im [mm] \IR^n [/mm] würde man sich erstmal fragen müssen, wie die definiert sind. Was für Abbildungen meinst Du damit?
Gehen wir aber mal in den [mm] \IR³. [/mm] Ist eine Ebenenspiegelung eine Isometrie oder nicht? Erhält sie die Längen von Vektoren und die Winkel zwischen zwei Vektoren?
(Unter "Abstände zwischen Vektoren", wie Du oben schreibst, kann ich mir grad nicht so viel vorstellen.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Do 31.07.2008 | | Autor: | jaruleking |
Achso, ok. Bis auf die Geschichte mit den SPiegelunen haben ich den Rest jetzt verstanden. Manchmal sind es so Kleinigkeiten und man braucht trotzdem hilfe.
Danke dir.
Gruß
achja: da steht im Skript wirklich lineare Abbildung, aber affine hat er es weggelassen, wie du es vielleicht mitbekommen hast.
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