Aequivalenzklasse und Beweis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Mi 29.09.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Gegeben sei die Relation $x [mm] \equiv [/mm] y (mod z)$ für $x,y [mm] \in \IZ$. [/mm] Weisen Sie nach, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt. Wie viele Äquivalenzklassen (für z=4), das heisst Mengen der Form
[mm] $[x]:=\{y\in \IZ | x \equiv y(modz)\}$ [/mm] $(x [mm] \in \IZ)$
[/mm]
Geben Sie an, wie viele unterscheidbare Klassen es in diesem Fall gibt. |
Äquivalenzanzeige:
[mm] $x\equiv [/mm] y(modz) $ [mm] \Rightarrow $y\equiv [/mm] x(modz)$ (Symmetrie)
[mm] $x\equiv [/mm] x(modz)$ (Reflex.)
[mm] $x\equiv [/mm] y(modz)$ und [mm] $y\equiv [/mm] q (modz)$ [mm] \Rightarrow $q\equiv [/mm] x (modz)$ (Transitivität)
Äquivalenzklassen für $mod4$ wären [mm] $\{0,1,2,3\}$, [/mm] also 4 Klassen? Und für z=5 [mm] $\{0,1,2,3,4\}$? [/mm]
Stimmt das so? Und wie kann man das gegebenenfalls noch besser aufschreiben?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Mi 29.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wie habt ihr denn die Relation x [mm] \equiv [/mm] y mod m definiert? Denn du müsstest irgendeine Definition verwenden, um die 3 Sachen zu zeigen.
z.B. kann man definieren: x [mm] \equiv [/mm] y mod m [mm] \gdw [/mm] m|x-y.
Dann hast du z.B. zur Reflexivität x [mm] \equiv [/mm] x mod m [mm] \gdw [/mm] m|x-x [mm] \gdw [/mm] m|0, was offensichtlich für [mm] m\not= [/mm] 0 stimmt.
Symmetrie und Transitivität musst du nochmal genauer zeigen.
Aber ja, es gibt dann für z=4 4 Äquivalenzklassen.
Dabei ist z.B. [mm] [1]=\{..., -7, -3, 1, 5, 9, ...\}=\{4k+1| k \in \IZ\}
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mi 29.09.2010 | | Autor: | kushkush |
Ja, die Definition war dieselbe mit "m|x-y" wie deine. Ich verstehe nicht wie ich die Trans. und Symmetrie genauer anzeigen kann. Gibt es noch Sonderfälle die ich rausfiltern und angeben muss?
Danke
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Hallo kushkush,
> Ja, die Definition war dieselbe mit "m|x-y" wie deine. Ich
> verstehe nicht wie ich die Trans. und Symmetrie genauer
> anzeigen kann. Gibt es noch Sonderfälle die ich
> rausfiltern und angeben muss?
Nein, einfach die Definition verwenden.
Trans.:
[mm]x \ \equiv \ y \ \operatorname{mod}(m) \ \wedge \ y \ \equiv \ z \ \operatorname{mod}(m)[/mm]
[mm]\gdw m\mid (x-y) \ \wedge \ m\mid(y-z)[/mm]
Daraus musst du folgern: [mm]m\mid(x-z)[/mm], was äquivalent dazu ist, dass [mm]x \ \equiv \ z \ \operatorname{mod}(m)[/mm]
Die Symmetrie ist trivial, wenn du auf die Definition zurück greifst.
Ist dir klar, wieso?
Schreib's dir einfach mal hin ...
>
>
> Danke
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mi 29.09.2010 | | Autor: | kushkush |
Habe ich das für die Symmetrie richtig aufgeschrieben:
[mm] $x\equiv [/mm] ymod(m) [mm] \wedge y\equiv xmod(m)$\\
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] m|(x-y) [mm] \wedge [/mm] m|(y-x)$
dankeschön
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Hallo nochmal,
> Habe ich das für die Symmetrie richtig aufgeschrieben:
>
> [mm]x\equiv ymod(m) \wedge y\equiv xmod(m)[/mm][mm] \\
[/mm]
>
> [mm]\gdw m|(x-y) \wedge m|(y-x)[/mm]
>
> dankeschön
Nein, du musst aus [mm]x \ \equiv \ y \ \operatorname{mod}(m)[/mm] folgern, dass auch [mm]y \ \equiv \ x \ \operatorname{mod}(m)[/mm] ist.
So:
[mm]x \ \equiv \ y \ \operatorname{mod}(m) \ \gdw \ m\mid (x-y) \ \Rightarrow m\mid -(x-y)=(y-x)[/mm] nach Teibarkeitsregeln
[mm]\gdw y \ \equiv \ x \ \operatorname{mod}(m)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mi 29.09.2010 | | Autor: | kushkush |
Ok,
ich habe bei der Transitivität diese Folgerung gemacht:
[mm] $m|(x-y)\wedge [/mm] m|(y-z) [mm] \gdw [/mm] m|(x-y)+(y-z)=m|(x-z)$
ist das zulässig?
Danke vielmals.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Mi 29.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wenn du aus [mm] \gdw [/mm] noch [mm] \Rightarrow [/mm] machst, dann stimmt es. Denn z.B. gilt ja 4|(8-4), aber es gilt weder 4|(8-1) noch 4|(1-4).
Vollständig aufgeschrieben wäre es dann eben:
$x [mm] \equiv [/mm] y [mm] \mod\ [/mm] m [mm] \wedge [/mm] y [mm] \equiv [/mm] z \ mod\ m [mm] \gdw [/mm] m|x-y [mm] \wedge [/mm] m|y-z [mm] \Rightarrow m|\underbrace{(x-y)+(y-z)}_{=x-z} \gdw [/mm] x [mm] \equiv [/mm] z [mm] \mod\ [/mm] m$.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Do 30.09.2010 | | Autor: | kushkush |
Ok, danke Teufel.
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