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Additionstheoreme: Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Mi 11.12.2013
Autor: jayw

Aufgabe 1
Bestimmen Sie die Menge aller x [mm] \in \IR, [/mm] für die gilt:
$ sin(2x)+2cos^2x >2 [mm] \$ [/mm]

Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass für alle x, y [mm] \in \IR [/mm] gilt:
a) $ sin(x) cos(y) = [mm] \bruch{1}{2}sin(x-y)+ \bruch{1}{2} [/mm] sin(x + y) [mm] \$ [/mm]
b) $ sin(x) + sin(y) = 2 sin [mm] (\bruch{x+y}{2})cos(\bruch{x-y}{2}) \$ [/mm]

Zur Aufgabe 1:
Ich habe hier zunächst mit den Additionstheoremen umgeformt zu:
[mm] \gdw [/mm] $ 2sinx*cosx+1+cos(2x)>2 [mm] \$ [/mm]
[mm] \gdw [/mm] $ 2sinx*cosx+cos(2x)>1 [mm] \$ [/mm]

Ich komme da allerdings nicht weiter, die Lösungsmenge wird ja ziemlich unendlich sein, da ja bei jeder Schwingung der Wert 2 überschritten wird.
Wie kann ich das also jetzt lösen?

Zur Aufgabe 2:
Ich vermute, dass es etwas hiermit zu tun hat, aber mehr leider nicht:
$ sin(a [mm] \pm [/mm] b)=sin(a)*cos(b) [mm] \pm [/mm] sin(b)*cos(a) [mm] \$ [/mm]



        
Bezug
Additionstheoreme: zu Aufgabe (1): erste Schritte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Mi 11.12.2013
Autor: Loddar

Hallo jayw!

> Bestimmen Sie die Menge aller x [mm]\in \IR,[/mm] für die gilt:
> [mm]sin(2x)+2cos^2x >2 \[/mm]

>

> Ich habe hier zunächst mit den Additionstheoremen
> umgeformt zu:
> [mm]\gdw[/mm] [mm]2sinx*cosx+1+cos(2x)>2 \[/mm]

Hier machst Du für [mm] $\sin(2x)$ [/mm] einen guten Ansatz und reißt es dann mit [mm] $2*\cos^2(x)$ [/mm] wieder ein.

Mit [mm] $\sin(2x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x)$ [/mm] wird:

[mm] $2*\sin(x)*\cos(x)+2*\cos^2(x) [/mm] \ > \ 2$

[mm] $\sin(x)*\cos(x)+\cos^2(x) [/mm] \ > \ 1$

[mm] $\cos(x)*\left[\sin(x)+\cos(x)\right] [/mm] \ > \ 1$

Hm, hier stecke ich jetzt auch ... [kopfkratz3]


Gruß
Loddar

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Additionstheoreme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:39 Mi 11.12.2013
Autor: abakus


> Hallo jayw!

>

> > Bestimmen Sie die Menge aller x [mm]\in \IR,[/mm] für die gilt:
> > [mm]sin(2x)+2cos^2x >2 \[/mm]
> >
> > Ich habe hier zunächst mit den Additionstheoremen
> > umgeformt zu:
> > [mm]\gdw[/mm] [mm]2sinx*cosx+1+cos(2x)>2 \[/mm]

>

> Hier machst Du für [mm]\sin(2x)[/mm] einen guten Ansatz und reißt
> es dann mit [mm]2*\cos^2(x)[/mm] wieder ein.

>

> Mit [mm]\sin(2x) \ = \ 2*\sin(x)*\cos(x)[/mm] wird:

>

> [mm]2*\sin(x)*\cos(x)+2*\cos^2(x) \ > \ 2[/mm]

Holzhammermethode: Jetzt [mm] $sin(x)=\pm\sqrt{1-cos^2(x)}$ [/mm] einsetzen, nach der Wurzel umstellen und quadrieren.
Etwas ungemütlich, weil eine nichtäquivalente Umformung verwendet wird (Probe erforderlich).
Gruß Abakus


>

> [mm]\sin(x)*\cos(x)+\cos^2(x) \ > \ 1[/mm]

>

> [mm]\cos(x)*\left[\sin(x)+\cos(x)\right] \ > \ 1[/mm]

>

> Hm, hier stecke ich jetzt auch ... [kopfkratz3]

>
>

> Gruß
> Loddar

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Additionstheoreme: Zu Aufgabe 2a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 Mi 11.12.2013
Autor: DieAcht


>  Zeigen Sie, dass für alle x, y [mm]\in \IR[/mm]
> gilt:
>  a) sin(x) cos(y) = [mm] \bruch{1}{2}sin(x-y)+ \bruch{1}{2} [/mm] sin(x + y)

Stur Additionstheorem anwenden!

[mm] \frac{1}{2}(\sin(x-y)+\sin(x+y))=\frac{1}{2}(\sin(x)\cos(y)-\sin(y)\cos(x)+\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x))=\ldots [/mm]

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Additionstheoreme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:46 Fr 13.12.2013
Autor: jayw

Danke!

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Additionstheoreme: Zu Aufgabe 2b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Mi 11.12.2013
Autor: reverend

Hallo jayw,

> b) [mm]sin(x) + sin(y) = 2 sin (\bruch{x+y}{2})cos(\bruch{x-y}{2}) \[/mm]
>  
> Zur Aufgabe 2:
>  Ich vermute, dass es etwas hiermit zu tun hat, aber mehr
> leider nicht:
>  [mm]sin(a \pm b)=sin(a)*cos(b) \pm sin(b)*cos(a) \[/mm]

Gute Vermutung.
Berechne mit diesem Additionstheorem

[mm] \sin{\left(\bruch{x+y}{2}+\bruch{x-y}{2}\right)}+\sin{\left(\bruch{x+y}{2}-\bruch{x-y}{2}\right)}=\cdots [/mm]

Grüße
reverend

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Additionstheoreme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:32 Fr 13.12.2013
Autor: jayw

Okay, das war zu einfach, danke ;)

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Additionstheoreme: zu Aufgabe 1), mal anders
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Mi 11.12.2013
Autor: reverend

Hallo jayw,

das fing in der Tat nicht schlecht an.

> Bestimmen Sie die Menge aller x [mm]\in \IR,[/mm] für die gilt:
>  [mm]sin(2x)+2cos^2x >2 \[/mm]

> Zur Aufgabe 1:
>  Ich habe hier zunächst mit den Additionstheoremen
> umgeformt zu:
>  [mm]\gdw[/mm]  [mm]2sinx*cosx+1+cos(2x)>2 \[/mm]
>  [mm]\gdw[/mm]  [mm]2sinx*cosx+cos(2x)>1 \[/mm]
>  
> Ich komme da allerdings nicht weiter, die Lösungsmenge
> wird ja ziemlich unendlich sein, da ja bei jeder Schwingung
> der Wert 2 überschritten wird.
>  Wie kann ich das also jetzt lösen?

Wie schon vorgeschlagen, fasse den linken Term auch zusammen, dann hast Du

[mm] \sin{(2x)}+\cos{2x}>1 [/mm]

Daraus folgt [mm] \sin{(2x)}>0\;\;\wedge\;\;\cos{(2x)}>0, [/mm] mithin [mm] 0<2x<\pi. [/mm] Jetzt quadrieren (Achtung: linke Seite ist schon vorher sicher positiv!):

[mm] \sin^2{(2x)}+2\sin{(2x)}\cos{(2x)}+\cos^2{(2x)}>1 [/mm]

Mit trigonometrischem Pythagoras folgt [mm] 2\sin{(2x)}\cos{(2x)}>0. [/mm]

Jetzt nochmal Additionstheorem angewandt:

[mm] \sin{(4x)}>0; [/mm] und das im Intervall [mm] x\in\left(0;\bruch{\pi}{2}\right). [/mm] Wie Du siehst, ist das dann immer erfüllt.

Hier ist trotz des Quadrierens keine Probe nötig!

Grüße
reverend

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Additionstheoreme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 Fr 13.12.2013
Autor: jayw


> Wie schon vorgeschlagen, fasse den linken Term auch
> zusammen, dann hast Du
>  
> [mm]\sin{(2x)}+\cos{2x}>1[/mm]
>  
> Daraus folgt [mm]\sin{(2x)}>0\;\;\wedge\;\;\cos{(2x)}>0,[/mm] mithin
> [mm]0<2x<\pi.[/mm] Jetzt quadrieren (Achtung: linke Seite ist schon
> vorher sicher positiv!):
>  
> [mm]\sin^2{(2x)}+2\sin{(2x)}\cos{(2x)}+\cos^2{(2x)}>1[/mm]
>  
> Mit trigonometrischem Pythagoras folgt
> [mm]2\sin{(2x)}\cos{(2x)}>0.[/mm]

Da komme ich nicht mit. Ich habe:
[mm]\sin^2{(2x)}+2\sin{(2x)}\cos{(2x)}+\cos^2{(2x)}>1[/mm]
[mm]\gdw 1-\cos(2x)+2\sin(2x)*\cos(2x)+1+\cos(2x)>1[/mm]
Wie wird daraus jetzt [mm]2\sin{(2x)}\cos{(2x)}>0[/mm] ?
Das das [mm] \cos(2x) [/mm] wegfällt ist klar, aber ich habe doch links zusätzlich 1+1? Wo ist mein Fehler?

>  
> Jetzt nochmal Additionstheorem angewandt:
>  
> [mm]\sin{(4x)}>0;[/mm] und das im Intervall
> [mm]x\in\left(0;\bruch{\pi}{2}\right).[/mm] Wie Du siehst, ist das
> dann immer erfüllt.

Muss da nich irgendeine Konstante rein [mm] (K*\pi) [/mm] um der sich endlos wiederholenden Schwingung gerecht zu werden?

> Hier ist trotz des Quadrierens keine Probe nötig!
>  
> Grüße
>  reverend


Bezug
                        
Bezug
Additionstheoreme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Fr 13.12.2013
Autor: MathePower

Hallo jayw,

> > Wie schon vorgeschlagen, fasse den linken Term auch
> > zusammen, dann hast Du
>  >  
> > [mm]\sin{(2x)}+\cos{2x}>1[/mm]
>  >  
> > Daraus folgt [mm]\sin{(2x)}>0\;\;\wedge\;\;\cos{(2x)}>0,[/mm] mithin
> > [mm]0<2x<\pi.[/mm] Jetzt quadrieren (Achtung: linke Seite ist schon
> > vorher sicher positiv!):
>  >  
> > [mm]\sin^2{(2x)}+2\sin{(2x)}\cos{(2x)}+\cos^2{(2x)}>1[/mm]
>  >  
> > Mit trigonometrischem Pythagoras folgt
> > [mm]2\sin{(2x)}\cos{(2x)}>0.[/mm]
>  Da komme ich nicht mit. Ich habe:
>  [mm]\sin^2{(2x)}+2\sin{(2x)}\cos{(2x)}+\cos^2{(2x)}>1[/mm]
>  [mm]\gdw 1-\cos(2x)+2\sin(2x)*\cos(2x)+1+\cos(2x)>1[/mm]


Das muss doch so lauten:

[mm]\gdw 1-\cos\red{^{2}}(2x)+2\sin(2x)*\cos(2x)+\cos\red{^{2}}(2x)>1[/mm]


>  Wie wird
> daraus jetzt [mm]2\sin{(2x)}\cos{(2x)}>0[/mm] ?
>  Das das [mm]\cos(2x)[/mm] wegfällt ist klar, aber ich habe doch
> links zusätzlich 1+1? Wo ist mein Fehler?
>  >  
> > Jetzt nochmal Additionstheorem angewandt:
>  >  
> > [mm]\sin{(4x)}>0;[/mm] und das im Intervall
> > [mm]x\in\left(0;\bruch{\pi}{2}\right).[/mm] Wie Du siehst, ist das
> > dann immer erfüllt.


Das stimmt nicht.
Es muss [mm]x\in\left(0;\bruch{\pi}{\blue{4}}\right)[/mm] sein.


>  Muss da nich irgendeine Konstante rein [mm](K*\pi)[/mm] um der sich
> endlos wiederholenden Schwingung gerecht zu werden?
>  


Ja.


> > Hier ist trotz des Quadrierens keine Probe nötig!
>  >  
> > Grüße
>  >  reverend
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                                
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Additionstheoreme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:37 So 15.12.2013
Autor: jayw


> Das stimmt nicht.
>  Es muss [mm]x\in\left(0;\bruch{\pi}{\blue{4}}\right)[/mm] sein.
>  
>
> >  Muss da nich irgendeine Konstante rein [mm](K*\pi)[/mm] um der sich

> > endlos wiederholenden Schwingung gerecht zu werden?
>  >  
>
>
> Ja.

Danke dir, ich würde das jetzt so aufschreiben:
[mm] \bruch {\pi}{2}*k
Korrekt?
Mfg


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Bezug
Additionstheoreme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 So 15.12.2013
Autor: MathePower

Hallo jayw,

> > Das stimmt nicht.
>  >  Es muss [mm]x\in\left(0;\bruch{\pi}{\blue{4}}\right)[/mm] sein.
>  >  
> >
> > >  Muss da nich irgendeine Konstante rein [mm](K*\pi)[/mm] um der sich

> > > endlos wiederholenden Schwingung gerecht zu werden?
>  >  >  
> >
> >
> > Ja.
>  
> Danke dir, ich würde das jetzt so aufschreiben:
>  [mm]\bruch {\pi}{2}*k
>  
> Korrekt?


Ja. [ok]


>  Mfg
>  


Gruss
MathePower

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