Addition in N < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 So 21.02.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hallo zusammen,
ich lerne gerade für meine mündliche Zwischenprüfung zum Thema Zahlbereichserweiterungen.
Wir haben die Addition der natürlichen wie folgt definiert:
Sei m eine natürliche Zahl. Wir definieren 'die Summe von m+n ' durch
1) m+0:=m
2) m+ sigma(n) := sigma(m+n)
(wisst ihr, wie ich die griechischen Buchstaben hier rein bekomme?)
Sigma steht für den Nachfolger.
So jetzt meine Frage.
Das ist ja eine rekursive Definition. Verstehe ich das richtig, dass die Definition auf dem Induktinsprinip basiert?
Den Punkt (2) kann ich doch erst gebrauche, wenn ich davon ausgehe, dass m+n schon existiert.
Ich weiß ja, nach den Peano Axiomen, dass Sigma(m)= m+1 ist.
Daraus konstruiere ich mir dann m+2,... bis m+n. Und das Sigma(n) steht dann dafür, dass ich das eben rekursiv so weiter machen kann.
Habe ich das so richtig verstanden?
Unser Dozent sagte damals in der Vorlesung, dass es aber beim Induktionsprinzip ein wenig anders sei, weil wir dort annehmen, dass [mm] m\in [/mm] M ist, ohne dies zu wissen. Was meint er genau damit?
Vielen Dank für eure Unterstützung.
Liebe Grüße,
Ferolei
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 So 21.02.2010 | | Autor: | uliweil |
Hallo Ferolei,
> Hallo zusammen,
>
> ich lerne gerade für meine mündliche Zwischenprüfung zum
> Thema Zahlbereichserweiterungen.
>
> Wir haben die Addition der natürlichen wie folgt
> definiert:
>
> Sei m eine natürliche Zahl. Wir definieren 'die Summe von
> m+n ' durch
>
> 1) m+0:=m
> 2) m+ sigma(n) := sigma(m+n)
>
> (wisst ihr, wie ich die griechischen Buchstaben hier rein
> bekomme?)
[mm] \sigma
[/mm]
> Sigma steht für den Nachfolger.
>
> So jetzt meine Frage.
> Das ist ja eine rekursive Definition. Verstehe ich das
> richtig, dass die Definition auf dem Induktinsprinip
> basiert?
Ja, man nennt eine rekursive Definition auch "Definition durch vollständige Induktion"
> Den Punkt (2) kann ich doch erst gebrauche, wenn ich
> davon ausgehe, dass m+n schon existiert.
So ist es, das gerade eben auf der linken Seite Entstandene wird rechts wieder eingesetzt (am Anfang natürlich der Anfangswert)
>
> Ich weiß ja, nach den Peano Axiomen, dass Sigma(m)= m+1
> ist.
> Daraus konstruiere ich mir dann m+2,... bis m+n. Und das
> Sigma(n) steht dann dafür, dass ich das eben rekursiv so
> weiter machen kann.
> Habe ich das so richtig verstanden?
Ja.
>
> Unser Dozent sagte damals in der Vorlesung, dass es aber
> beim Induktionsprinzip ein wenig anders sei, weil wir dort
> annehmen, dass [mm]m\in[/mm] M ist, ohne dies zu wissen. Was meint
> er genau damit?
Das Prinzip der v.I. (5. Peano) formuliert:
... [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm] Ind-Beh für n richtig [mm] \Rightarrow [/mm] Ind-Beh für [mm] \sigma(n) [/mm] richtig ...
Dies ist eine wenn-dann-Aussage (Implikation), bei der typischerweise nichts darüber ausgesagt wird, ob die Prämisse irgendwie, irgendwo oder irgendwann erfüllt ist. Es gibt tatsächlich Beispiele für Induktionsbehauptungen, die die Implikation erfüllen, ohne dass der Induktionsanfang korrekt ist (somit ist dann die Gesamtaussage nicht bewiesen). Dies ist freilich bei einer rekursiven Definition anders, da wird der Anfang ja explizit festgelegt und gilt dann auch (sonst ist die Definition ja fehlerhaft).
>
> Vielen Dank für eure Unterstützung.
>
> Liebe Grüße,
>
> Ferolei
Gruß
Uli
|
|
|
|
