Addition auf kubischen Kurven < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe ein Additionstheorem von Punkten auf einer kubischen Kurve in Weierstrass-Form berechnet. Die kubische Kurve $ [mm] y^2=4x^3-g_2\wp-g_3 [/mm] $ lässt sich durch $ [mm] (\wp(u):\wp'(u):1) [/mm] $ in $ [mm] \IC P^2 [/mm] $ parametrisieren. Die unendlich fernen Punkte werden auf (0:1:0) abgebildet. Man kommt dann auf ein Additionsgesetz: $ [mm] P_1+P_2=P_3, [/mm] $ wobei $ [mm] P_i=(X_i:Y_i:Z_i). [/mm] $ Das Gesetz kann man verallgemeinern, so dass man auch den unendlich fernen Punkt als Argument nehmen kann. Wenn ich den Punkt (0:1:0) einsetze z.B. für $ [mm] P_1, [/mm] $ kommt bei mir (0:0:0) heraus. Der zweite Wert müsste aber von Null verschieden sein. Kann mir jemand helfen? In meinem angehängten Teilskript geht es um die letzten 2 Seiten.
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 Sa 22.07.2006 | | Autor: | Math_Rise |
Die Frage hat sich erledigt. Mein Additionsgesetz war wohl richtig, gilt aber nicht für den unendlich fernen Punkt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Sa 22.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Frage hat sich erledigt. Mein Additionsgesetz war wohl
> richtig, gilt aber nicht für den unendlich fernen Punkt.
Man kann sogar folgendes zeigen: Du brauchst mindestens zwei solcher Additionsgesetze, um fuer je zwei Wahlen von Punkten ein Ergebnis ungleich $(0, 0, 0)$ zu bekommen (und alle Ergebnisse ungleich $(0, 0, 0)$ sind dann richtig).
Siehe dazu z.B. den Artikel ``Complete systems of two
addition laws for elliptic curves'' von Wieb Bosma und Hendrik W. Lenstra, Jr., im Journal of Number Theory, 53(2):229--240, 1995.
LG Felix
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