Abzählbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Di 02.11.2004 | | Autor: | Fry |
Aufgabe: Zeigen Sie durch Induktion nach n: Sind n,m [mm] \in [/mm] |N und ist f:
f : {1,2,....,n} -> {1,2,....,m} eine bijektive Abbildung, so gilt n = m.
Folgern Sie, dass für endliche Menge die Zahl |M| wohldefiniert ist.
Meine Lösung: (f: X -> Y)
Induktionsanfang: n=1:
{1} -> {1,2,...,m}
Soll die Funktion bijektiv sein, so muss es für jedes y [mm] \in [/mm] Y ein x [mm] \in [/mm] X geben und es folgt, dass jedem x [mm] \in [/mm] X genau ein y [mm] \in [/mm] Y zugeordnet werden muss.
Deshalb muss m = 1 sein. Somit stimmt die Aussage für n = 1.
Induktionsvoraussetzung: Sei die Aussage für ein n wahr,....
Induktionsschluss: ... dann folgt daraus, dass bei einer Erweiterung der n-elementigen Menge X um das Element n+1 für eine eineindeutige Zuordnung Y ein weiteres Element m+1 erhalten muss.
Da die Menge endlich ist, gibt es auch nur endlich viele Elemente und per definitionem gibt es eine bijektive Funktion g: {1,2,...n} -> M, die jedem Element von M eine natürliche Zahl n zuordnet. Wie wir oben herausgefunden haben, hat bei einer bijektiven Abbildung der Definitionsbereich genauso viele Elemente wie die Wertemenge. Bei dem oben angegebenen Definitionsbereich hat M also die Mächtigkeit n.
Stimmt das so ? Bei der Induktion habe ich arge Zweifel...würde mich über Feedback freuen :=) Danke im Voraus !
Grüße
Fry
|
|
| |
|
Hallo Fry,
dein Beweis scheint mir einleuchtend und richtig.
Was ist denn mit der Wohldefiniertheit von |M|?
Welche Gedanken hast du dir darüber schon gemacht?
Hugo
|
|
|
|
