Abzählbarkeit < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Do 01.02.2018 | | Autor: | LeFlair |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen abzählbar ist. |
Hallo,
Diophant ich glaube ich hab es verstanden.
Um die Aufgabenstellung zu zeigen, muss man eine Abbildung benennen die Bijektiv ist.
Angefangen habe ich mit der Funktionvorschrift $2n-1$ welche ich aber wieder verworfen habe, da diese zwar injektiv, aber nicht surjektiv ist.
Danach kam ich auf diese:
Sei M eine Natürliche ungerade Zahl
$f: M [mm] \to \IN [/mm] , n [mm] \mapsto \bruch{n+1}{2}$
[/mm]
Diese ist sowohl injektiv, als auch surjektiv. Jedes Element aus M kann man nur eines aus [mm] \IN [/mm] zuordnen und es wird auch jedes in [mm] \IN [/mm] getroffen.
Gruß LeFlair
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Do 01.02.2018 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Menge aller ungeraden natürlichen
> Zahlen abzählbar ist.
>
> Hallo,
> Diophant ich glaube ich hab es verstanden.
Hallo Flair,
ich bins, der Fred
> Um die Aufgabenstellung zu zeigen, muss man eine Abbildung
> benennen die Bijektiv ist.
>
> Angefangen habe ich mit der Funktionvorschrift [mm]2n-1[/mm] welche
> ich aber wieder verworfen habe, da diese zwar injektiv,
> aber nicht surjektiv ist.
Wenn du, wie du es unten getan hast, die Menge der ungeraden Zahlen mit M bezeichnest,
so ist obige Vorschrift eine Bijektion der natürlichen Zahlen auf M.
>
> Danach kam ich auf diese:
> Sei M eine Natürliche ungerade Zahl
> [mm]f: M \to \IN , n \mapsto \bruch{n+1}{2}[/mm]
Das passt. Dieses f ist die Umkehrfunktion Deiner obigen Vorschrift.
>
> Diese ist sowohl injektiv, als auch surjektiv. Jedes
> Element aus M kann man nur eines aus [mm]\IN[/mm] zuordnen und es
> wird auch jedes in [mm]\IN[/mm] getroffen.
>
> Gruß LeFlair
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Fr 02.02.2018 | | Autor: | LeFlair |
Da ich mir in der richtigen Aufschreibweise noch unsicher bin, bitte ich euch einmal drüber zu schauen und zu verbessern falls nötig.
Sei M die Menge aller ungeraden Natürlichen Zahlen und
[mm]f: M \to \IN, n \mapsto \frac{n+1}{2}[/mm]
f sei Injektiv, wenn gilt
[mm]f(x) = f(y) \Rightarrow x = y[/mm]
Sei [mm]f(x) = f(y)
\Rightarrow \frac{x+1}{2} = \frac{y+1}{2}
\Rightarrow x+1 = y+1
\Rightarrow x = y[/mm] erfüllt die Vorraussetzung und ist somit injektiv!
Frage: Was ich gemacht habe also *2 -1 ist Trivial oder?
f sei surjektiv, wenn gilt:
[mm]f(x) = y[/mm]
[mm]
\textrm{Sei } f(x) = \frac{x+1}{2}, \textrm{und sei y} \in \IN[/mm]
[mm]\Rightarrow \frac{x+1}{2} = y \Rightarrow x+1=2y \Rightarrow x=2y-1[/mm]
setzten wir nun in [mm]f(x)[/mm] ein, da [mm]x= 2y-1[/mm]
[mm]\Rightarrow f(2y-1) = \frac{2y-1+1}{2} \Rightarrow \frac{2y}{2} = y \Rightarrow f(x) = y[/mm]
somit Bedingung erfüllt und surrjektiv!
Bijektiv, da f injektiv und surrjektiv ist. [mm]\blacksquare [/mm]
Gruß,
LeFlair
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Hallo,
> Da ich mir in der richtigen Aufschreibweise noch unsicher
> bin, bitte ich euch einmal drüber zu schauen und zu
> verbessern falls nötig.
Auch an deinen sprachlichen Ausformulierungen solltest du noch arbeiten.
> Sei M die Menge aller ungeraden Natürlichen Zahlen und
> [mm]f: M \to \IN, n \mapsto \frac{n+1}{2}[/mm]
>
> f sei Injektiv,
was heißt 'sei'? f ist injektiv, wenn folgendes gilt:
> [mm]f(x) = f(y) \Rightarrow x = y[/mm]
> Sei [mm]f(x) = f(y)
\Rightarrow \frac{x+1}{2} = \frac{y+1}{2}
\Rightarrow x+1 = y+1
\Rightarrow x = y[/mm]
> erfüllt die Vorraussetzung und ist somit injektiv!
> Frage: Was ich gemacht habe also *2 -1 ist Trivial oder?
Unter 'trivial' versteht man etwas völlig anders*. Was du da kommentarlos gemacht hast ist absolut nachvollziehbar und damit in Ordnung.
> f sei surjektiv, wenn gilt:
Sprachlich der leiche Einwand wie oben.
> [mm]f(x) = y[/mm]
> [mm]
\textrm{Sei } f(x) = \frac{x+1}{2}, \textrm{und sei y} \in \IN[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{x+1}{2} = y \Rightarrow x+1=2y \Rightarrow x=2y-1[/mm]
>
> setzten wir nun in [mm]f(x)[/mm] ein, da [mm]x= 2y-1[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(2y-1) = \frac{2y-1+1}{2} \Rightarrow \frac{2y}{2} = y \Rightarrow f(x) = y[/mm]
>
> somit Bedingung erfüllt und surrjektiv!
Das ist nicht falsch, aber etwas mühsam nachvollziehbar. Du hast gezeigt, dass es für jede natürliche Zahl y eine entsprechende Zahl x gibt und damit die Surjektivität nachgewiesen. Ich hätte hier einfach die Funktionsgleichung nach x aufgelöst, eine kurzte Begründung geschrieben und fertig.
> Bijektiv, da f injektiv und surrjektiv ist. [mm]\blacksquare[/mm]
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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