Abzählbare Basis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:26 Mi 08.12.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Es sei (X, [mm] \mathcal{T}) [/mm] ein topologischer Raum mit abzählbarem Atlas.
Zeigen Sie, dass [mm] \mathcal{T} [/mm] dann eine abzählbare Basis hat. |
Heyho!
Sei [mm] \mathcal{A}=\{\phi_{n}:U_{n}\to V_{n}\}_{n\in\IN} [/mm] ein abzählbarer Atlas von X.
Es gilt: [mm] \mathcal{T}=\{O\in\mathcal{P}(X)|\phi_{n}(O\cap U_{n}) offen \forall n\in\IN\}
[/mm]
Wie findet man nun eine abzählbare Basis dieser Topologie???
Ich hab mir zuerst gedacht, ich nehm da mal endliche Schnitte von den Definitionsmengen der Karten. Aber durch das Beispiel [mm] X=\IR [/mm] und [mm] \mathcal{A}=\{id_{\IR}\} [/mm] wurd mir klar, dass das nicht geht.
Wie findet man also dann eine abzählbare Basis?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Do 09.12.2010 | | Autor: | pelzig |
Vielleicht denkst du mal in die Richtung: Die [mm] $V_n$ [/mm] haben ja sicherlich alle ne abzählbare Basis (als Teilmenge von [mm] $\IR^m$). [/mm] Jetzt kannst du alle diese Basismengen mittels der Karten auf $X$ "hochziehen"...
Gruß, Robert
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