Abz. Vereinigung abz. Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich habe mich an einem Beweis der Behauptung "Die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar." versucht und glaube einen Fehler gemacht zu haben.
Ich weiß, dass man das (u.a.) auch über das (1.) Cantor'sche Diagonalverfahren beweisen kann. Aber ich wollte mir auch andere Wege ansehen.
Ist es überhaupt möglich die unten beschriebene Behauptung mittels Induktion zu beweisen?
(P) Es darf als wahr angenommen werden, dass die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen selbst wieder abzählbar ist.
Behauptung:
Sei [mm] $A_i$ [/mm] für $i [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] abzählbar. Dann ist auch [mm] $\cup_{i \in \mathbb{N}} A_i$ [/mm] abzählbar.
Beweis:
Betrachte [mm] $I_k [/mm] := [mm] \{ n \in \mathbb{N} \mid n \leq k \}$ [/mm] für $k [mm] \in \mathbb{N}$. [/mm] Wir möchten die Behauptung mittels Induktion nach $k$ beweisen.
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I.A.: Sei $k=1$, dann ist die Behauptung wahr, da [mm] $\cup_{i \in I_{1}} A_i [/mm] = [mm] A_1$ [/mm] abzählbar ist.
I.V.: Sei die Behauptung also wahr für ein $k$.
I.S.: Betrachte [mm] $\cup_{i \in I_{k+1}} A_i [/mm] = [mm] (\cup_{i \in I_{k}} A_i) \cup (\cup_{i \in \{k+1\}} A_i) [/mm] = [mm] (\cup_{i \in I_{k}} A_i) \cup A_{k+1}$. [/mm] Definiere nun $A := [mm] \cup_{i \in I_{k}} A_i$. [/mm] Nach (I.V.) ist $A$ abzählbar und nach (P) ist damit auch $A [mm] \cup A_{k+1} [/mm] = [mm] (\cup_{i \in I_{k}} A_i) \cup A_{k+1} [/mm] = [mm] \cup_{i \in I_{k+1}} A_i$ [/mm] abzählbar.
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Damit haben wir gezeigt, dass [mm] $\cup_{i \in I_k} A_i$ [/mm] für alle $k [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] abzählbar ist.
Ich vermute, dass der Sprung von "für alle $k [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] wahr für [mm] $I_k$" $\Rightarrow$ [/mm] "wahr für [mm] $\mathbb{N}$" [/mm] schlicht falsch ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
dass deine Argumentation nicht funktioniert, kannst du dir sehr einfach selbst überlegen:
Du kannst per vollst. Induktion sehr einfach zeigen, dass Mengen der Form [mm] $\{1,\ldots,n\}$ [/mm] endlich sind.
Du hast dann behauptet, dass dann auch [mm] $\{1,\ldots\} [/mm] = [mm] \IN$ [/mm] endlich ist, was aber offensichtlich falsch ist.
D.h. nur weil du per vollständiger Induktion zeigst, dass eine Aussage für alle Elemente [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt, bedeutet das leider nicht, dass sie auch für die Menge [mm] $\IN$ [/mm] gilt.
Gruß,
Gono.
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