Abstand zweier Geraden < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Tobi1335 |
| Aufgabe | | $ [mm] d=(\vec{q}-\vec{p}) \circ n_{0} [/mm] $ |
Ich würde gerne wissen, wie ich die die obige Formel herleiten kann.
Der Normalenvektor muss ja, soweit ich weiß, ein Einheitsvektor sein. Ich verstehe nun aber überhaupt nicht, wieso ich den Abstand zweier Geraden berechnen kann, indem ich einfach die Stützvektoren subtrahiere und dann mit dem Normalenvektor multipliziere.
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Ich gehe davon aus, dass zwei parallele Geraden in der Ebene gemeint sind.
1. Fasst Du die Vektoren [mm] $\vec [/mm] p$ und [mm] $\vec [/mm] q$ als Ortsvektoren zweier Punkte $P$ und $Q$ auf, so ist die Differenz [mm] $\vec q-\vec [/mm] p = [mm] \vec{OQ}-\vec{OP}= \vec{PQ}$, [/mm] also ein Vektor von einem Punkt auf der einen zu einem Punkt auf der anderen Geraden.
Sei [mm] $\vec{a} [/mm] = [mm] $\vec{q}-\vec{p}$
[/mm]
2. Das Skalarprodukt von [mm] $\vec [/mm] a$ mit einem Einheitsvektor gibt die Länge der Projektion von [mm] $\vec [/mm] a$ auf diesen Einheitsvektor an:
Das Skalarprodukt [mm] $\vec{a}\cdot\vec{n}$ [/mm] kann als [mm] $|\vec a||\vec n|\cos(\gamma)$ [/mm] ausgedrückt werden. [mm] $\gamma$ [/mm] ist dabei der Winkel zwischen [mm] $\vec [/mm] a$ und [mm] $\vec [/mm] n$
Wenn du das rechtwinklige Dreieck bestehend aus [mm] $\vec [/mm] a$, der Verlängerung eines Normalenvektors in P und einem Stück der einen Gerade aufzeichnest, kannst du erkennen, dass [mm] $|\vec a|\cos(\gamma)$ [/mm] die gesuchte Grösse ist.
Übrigens:
Abstände sind nicht negativ, aber diese Formel kann ein negatives Ergebnis haben. Unter welchen Umständen?
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