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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Mo 12.07.2010 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | Der Abstand zweier windschiefer Geraden [mm] u+\IR*x [/mm] und [mm] v+\IR*y [/mm] ist gegeben durch
[mm] \bruch{\parallel \langle u-v, x\times y\rangle\parallel}{\parallel x\times y\parallel} [/mm] |
Hallo,
zu dieser Formel habe ich niergens einen "vernünftigen" mathematischen Beweis gefunden, sondern nur jede Menge Beispiele.
Kennt jemand von euch eine Herleitung dieser Formel nach allen Regeln der Mathekunst?
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe ;)
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> Der Abstand zweier windschiefer Geraden [mm]u+\IR*x[/mm] und [mm]v+\IR*y[/mm]
> ist gegeben durch
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> [mm]\bruch{\parallel \langle u-v, x\times y\rangle\parallel}{\parallel x\times y\parallel}[/mm]
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> Hallo,
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> zu dieser Formel habe ich niergens einen "vernünftigen"
> mathematischen Beweis gefunden, sondern nur jede Menge
> Beispiele.
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> Kennt jemand von euch eine Herleitung dieser Formel nach
> allen Regeln der Mathekunst?
Hallo wee,
durch den Punkt u und die drei von u ausgehenden Kanten-
vektoren x, y und (v-u) wird ein Spat (Parallelepiped) aufge-
spannt. Seine durch x und y aufgespannte Grundfläche hat
den Flächeninhalt G = [mm] |x\times{y}| [/mm] = $\ [mm] |x|*|y|*|sin(\angle(x,y))|$
[/mm]
Der Betrag des Spatprodukts [mm] \langle [/mm] u-v, [mm] x\times y\rangle [/mm] liefert das Volumen
V des Spats. Es gilt $\ V\ =\ G*h$ . Dabei ist h die Höhe des Spats, welche
dem Abstand der gegebenen windschiefen Geraden entspricht.
Es folgt also:
$\ h\ =\ [mm] \frac{V}{G}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\| \langle u-v, x\times y\rangle \|}{\| x\times y \| }$
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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