Abstand von Punkten auf Kugel < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Sa 10.09.2005 | | Autor: | Athena |
Hallo!
Ich habe folgende Frage: Ich soll diejenigen Punkte auf einer Kugeloberfläche [mm] x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 [/mm] bestimmen, die den kleinsten/größten Abstand zum Punkt (1,1,1) haben.
Dazu benutze ich die Lagrange Hilfsfunktion für Maximierungs/Minimierungsprobleme. Nebenbedingung ist ganz klar [mm] x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0. [/mm] Die Hauptfunktion dachte ich mir eigentlich sei ganz einfach zu bilden, indem ich den Vektor zwischen Punkt P=(x,y,z) und (1,1,1) bilde und dann den Abstand über den Betrag dieses Vektors bestimme. Zusammen also:
[mm] L=\wurzel[2]{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}}+\lambda(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1)
[/mm]
So, jetzt das eigentliche Problem: In der Musterlösung zu dieser Aufgabe ist die gleiche Formel bis auf die Wurzel in der Hauptfunktion.
Dort steht: [mm] L=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}+\lambda(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1)
[/mm]
Habe ich etwas übersehen? Oder ist die Musterlösung einfach falsch?
Vielen Dank!
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Hallo Athena,
Da das was unter der Wurzel steht immer positiv und die Wurzelfunktion monoton wachsend ist, sind die beiden Aufgaben
f(x) [mm] \to [/mm] min/max
und
[mm] \wurzel{f(x)} \to [/mm] min/max
äquivalent.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Sa 10.09.2005 | | Autor: | Athena |
Vielen Dank schonmal :)
Ich begreife, dass dadurch dass jedes Summenglied positiv und die Wurzelfunktion monoton steigend ist das Verhalten beider Funktionen äquivalent ist. Aber warum wird das genaue Ergebnis nicht davon beeinflußt?
Gruß
Jessi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:51 So 11.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Athena
Das Ergebnis gedacht dabei an den Wert der Funktion ist ein anderes, aber darum geht es ja nicht! Sondern es geht darum, bei welchem x die fkt. max oder min ist. WENN eine Fkt. ein relatives Max. hat, dann hat auch ihr Quadrat genau dort ein rel .max. oder min. Stell dir vor, du hast das max der fkt.und es ist positiv, dann quadrierst du die Werte an der Stelle und daneben. kleinere Zahlen ergeben kleiner Quadratzahlen, die höchste Stelle bleibt die höchste, aber ihre Höhe ändert sich natürlich. Wenn das Max. negativ war, wird es zum Minimum, das kannst du jetzt selbst überlegen. und genauso mit den Minima.
da die Wurzel aber sowieso positiv ist ist das mit dem aus max wird min hier nicht gegeben.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 So 11.09.2005 | | Autor: | Athena |
Vielen Dank, jetzt ist mir das klar! :)
Gruß
Jessi
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