Abstand von Ebenen berechnen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Statham |
Hallo, ich hoffe hier kann mir jemand helfen.
Ich soll den Abstand zweier Ebenen berechnen:
E1: x= (0/1/-1)+k(2/3/4)+s(1/2/3)
E2: x= ( 2/1/3)+l(2/3/4)+t(1/2/3)
Davon muss ich doch jetzt die Normalenform bilden, oder?
Nur leider habe ich das noch nicht richtig verstanden. Könnte mir irgendjemand beschreiben wie das funktioniert, dann kann ich hoffentlich auch den Abstand ausrechnen... :)
Danke schonmal im Vorraus!
Gruß Statham
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Sa 12.03.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wandele beide Ebenen mal in die sogenannte Hessesche  Normalenform um.
Hast du das, prüfe, ob die Normalenvektoren parallel sind, wenn ja, sind die Ebenen auch parallel, sonst schneiden sie sich in einer Schnittgerade, haben also den Abstand 0.
Berechne dann ebenfalls mit Hilfe der hesseschen Normalenform den Abstand d des Sützpunktes von E1 zur Ebene E2, wie das geht, steht in dem obigen Link.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Statham |
Danke für Deine Antowrt. Ich komme hier irgendwie nicht weiter...
Also der Normalenvektor ist doch (-1/2/-1) und demnach hat er die Länge: √6 ist das wenigstens soweit richtig?
Und weiter bin ich irgendwie nicht gekommen...?
...undser Lehrer erklärt das aber auch doof :(
Gruß
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Hi,
> Danke für Deine Antowrt. Ich komme hier irgendwie nicht
> weiter...
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> Also der Normalenvektor ist doch (-1/2/-1) und demnach hat
> er die Länge: √6 ist das wenigstens soweit richtig?
Jo.
>
> Und weiter bin ich irgendwie nicht gekommen...?
Beide Ebenen haben offensichtlich den gleichen Normalenvektor, sind also parallel.
Wir berechnen eine Ebene in HNF und setzen den Ortsvektor der anderen ein.
Die Ebenengleichung von [mm] E_1 [/mm] hat die Form:
[mm] \qquad $-x_1+2x_2-x_3+d=0$
[/mm]
Mithilfe des Ortsvektors von [mm] E_1 [/mm] ermittelst du d, anschließend erhältst du die HNF, indem du durch die oben ermittelte Länge des Normalenvektors teilst.
Dann musst du nur noch den Ortsvektor von [mm] E_2 [/mm] einsetzen. Das Ergebnis auf der linken Seite ist dann der Abstand, ggf. musst du noch den Betrag nehmen.
>
> ...undser Lehrer erklärt das aber auch doof :(
>
> Gruß
>
>
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Statham |
Also für d habe ich jetzt -3 rausbekommen ...
Wenn ich jetzt aber [mm] │\bruch{1x_{1}-2x_{2}+1x_{3}-3}{\wurzel{6}} [/mm] rechne, dann habe ich im Zähler ja 0 und dann ist das Ergebnis auch 0 und das kann ja eigentlich nicht sein, oder?
Was habe ich falsch gemacht? :o
Danke ...
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Hallo Statham,
> Also für d habe ich jetzt -3 rausbekommen ...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ich jetzt aber
> [mm]│\bruch{1x_{1}-2x_{2}+1x_{3}-3}{\wurzel{6}}[/mm] rechne, dann
> habe ich im Zähler ja 0 und dann ist das Ergebnis auch 0
> und das kann ja eigentlich nicht sein, oder?
Hier hast Du Dich verschrieben:
[mm]│\bruch{\bluie{-}1x_{1}\blue{+}2x_{2}\blue{-}1x_{3}-3}{\wurzel{6}}[/mm]
>
> Was habe ich falsch gemacht? :o
>
> Danke ...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Statham |
Okay, liege ich mit meinem Ergebnis : 2,44 richtig?
und welche Einheit ist das dann? ( cm, m, km, etc. ^^ )
Danke ...
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Hallo Statham,
> Okay, liege ich mit meinem Ergebnis : 2,44 richtig?
Genauer: [mm]\wurzel{6} \approx 2,449[/mm]
>
> und welche Einheit ist das dann? ( cm, m, km, etc. ^^ )
Die Einheit ist nicht angegeben. Daher kannst Du schreiben
[mm]\wurzel{6} \ LE[/mm]
LE steht für Längeneinheit.
>
> Danke ...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Statham |
Super, also ich habe das jetzt verstanden. :)
Allerdings habe ich doch noch eine klitzekleine Frage:
Wenn ich den Normalenvektor über das Kreuzprodukt ausrechne, komme ich auf [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1}. [/mm] Ist ja raktisch auch "egal", ob ich nun [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ -1} [/mm] oder eben [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1} [/mm] nehme.
Allerdings bekomme ich für d ja -3 raus...
somit setze ich jetzt das mit dem Kreuzprodukt ausgerechnete ein: [mm] 1x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} +1x_{3} [/mm] = -3 und da würde ja (-3/0/0) passen, damit die Gleichung stimmt.
Deswegen würde ja hier: $ [mm] │\bruch{1x_{1}-2x_{2}+1x_{3}+3}{\wurzel{6}} [/mm] $ im Zähler 0 rauskommen?!
Ich schätze ich habe irgendwo ein Vorzeichenfehler & hoffe, dass ich das verständlich beschrieben habe und dass mir da nochmal jemand helfen kann...
Gruß
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Hi,
> Super, also ich habe das jetzt verstanden. :)
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> Allerdings habe ich doch noch eine klitzekleine Frage:
>
> Wenn ich den Normalenvektor über das Kreuzprodukt
> ausrechne, komme ich auf [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 1}.[/mm]
> Ist ja raktisch auch "egal", ob ich nun [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ -1}[/mm]
> oder eben [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 1}[/mm] nehme.
>
> Allerdings bekomme ich für d ja -3 raus...
>
> somit setze ich jetzt das mit dem Kreuzprodukt
> ausgerechnete ein: [mm]1x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2} +1x_{3}[/mm] = -3
[mm] E_1 [/mm] hat die Gleichung [mm] x_1-2x_2+x_3-3=0
[/mm]
So hattest du doch das d ausgerechnet.
> und da würde ja (-3/0/0) passen, damit die Gleichung stimmt.
>
> Deswegen würde ja hier:
> [mm]│\bruch{1x_{1}-2x_{2}+1x_{3}+3}{\wurzel{6}}[/mm] im Zähler 0
> rauskommen?!
>
> Ich schätze ich habe irgendwo ein Vorzeichenfehler &
> hoffe, dass ich das verständlich beschrieben habe und dass
> mir da nochmal jemand helfen kann...
>
> Gruß
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Statham |
Ja, nur muss ich nicht hier [mm] $1x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} +1x_{3} [/mm] $ = -3 das d, also die -3 rüberholen und dann steht da [mm] 1x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} +1x_{3} [/mm] +3 ?
Oder habe ich da noch einen Denkfehler?
Danke ...
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Hi,
> Ja, nur muss ich nicht hier [mm]1x_{1} - 2x_{2} +1x_{3}[/mm] = -3
> das d, also die -3 rüberholen und dann steht da [mm]1x_{1}[/mm] -
> [mm]2x_{2} +1x_{3}[/mm] +3 ?
>
> Oder habe ich da noch einen Denkfehler?
Du hast d in diesem Fall als -3 berechnet, da dann
[mm] \qquad $1x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} +1x_{3} [/mm] +d = 0$,
wenn der Stützvektor der Ebene [mm] E_1 [/mm] eingesetzt wird.
Damit steht die Ebenengleichung fest. Von da an sind nur noch Äquivalenzumformungen erlaubt, und wenn du den konstanten Anteil auf der anderen Seite haben willst, steht da:
[mm] \qquad $1x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} +1x_{3} [/mm] -3= 0 [mm] \gdw$
[/mm]
[mm] \qquad $1x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} +1x_{3} [/mm] = +3$
>
> Danke ...
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Statham |
Achso, ok!
Danke Euch allen. :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Sa 12.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo, ich hoffe hier kann mir jemand helfen.
>
> Ich soll den Abstand zweier Ebenen berechnen:
>
> E1: x= (0/1/-1)+k(2/3/4)+s(1/2/3)
> E2: x= ( 2/1/3)+l(2/3/4)+t(1/2/3)
>
> Davon muss ich doch jetzt die Normalenform bilden, oder?
Musst du nicht. Nimm eine Gerade, die senkrecht zu den beiden parallelen Ebenen ist (am einfachsten eine Gerade durch den Ursprung, deren Richtungsvektor vom Normalenvektor der Ebenen bestimmt wird) und ermittle den Schnittpunkt der Geraden mit der jeweiligen Ebene.
Der Abstand beider Schnittpunkte entspricht dem Abstand der Ebenen.
Gruß Abakus
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> Nur leider habe ich das noch nicht richtig verstanden.
> Könnte mir irgendjemand beschreiben wie das funktioniert,
> dann kann ich hoffentlich auch den Abstand ausrechnen...
> :)
>
> Danke schonmal im Vorraus!
>
> Gruß Statham
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Statham |
Danke für Deine Antwort, aber ich glaube ich rechne das jetzt so aus wie ich angefagen habe, denn so haben wir das im Moment auch in der Schule 
Vielleicht hast Du ja jetzt eine Antwort auf meine Frage, die noch offen ist.
Gruß Statham
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