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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Abstand eines punktes zu einer
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Abstand eines punktes zu einer: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Sa 12.05.2012
Autor: Germanmausi

Aufgabe
Die grundflaeche ABCD der schiefen Pyramide liegt in der Ebene E

Gegeben sind die Punkte A(1:3:2) B(4:7:1) C(5:7:4), D(2:3:5) und S (10:7:1)
sowie due ebene E: -6x1+5x2+2x3 = 13.

a) berechnen sie das volumen der Pyramide.
b) Berechnen Sie die Koordinaten der spitze einer geraden Pyramide mit derselben Grundflaeche und demselben Volumen ( v= 24) wie die pyramide in a.

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=491637

Meine Ideen:
Aufgabe a habe ich schon geloest .
ABCD ist ein rechteck da AB*BC 0 usw.
der betrag von AB = wurzel 26
dre Betrag von BC = wurzel 10

==> grundseite= 2* wurzel 26

der betrag von ST lautet 4,46 und somit ist es die HOEHE


LEider weiss ich jz nicht wie ich bei dem aufgabenteil b vorgehen soll

        
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Abstand eines punktes zu einer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Sa 12.05.2012
Autor: Richie1401

Vorschlag:

Du berechnest den Mittelpunkt der Grundfläche und bildest den Normalenvektor darauf. Dann hast du eine Gerade. Jetzt berechnest du das Volumen mit Hilfe der Geraden. Also ist die Höhe der Pyramide die Differenz zwischen einem Punkt auf der Geraden und dem Punkt auf der Grundfläche.
Jetzt könntest du den Parameter t ermitteln, der dir dann den Punkt S liefert.
(Logischerweise müssten zwei Punkte entstehen, weil ja die Spitze einmal "über" und einmal "unter" der Grundfläche liegen kann).

_
Deine Ergebnisse habe ich nicht geprüft. Dies hier soll ein Lösungsvorschlag sein.

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Abstand eines punktes zu einer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Sa 12.05.2012
Autor: Germanmausi

also mein mittelpunkt lautet dann

1/2 AC + OA
M = ( 3:5:3 )
und der Normalenvektor kann ich aus der ebenengleichung entnehmen ..dh.
n = ( -6 ; 5 :2 )
g:x= (3:5:3) + t ( -6 :5 :2)

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Abstand eines punktes zu einer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Sa 12.05.2012
Autor: Richie1401

Genau so ist es.

Und nun gehts los:
h=|S-M|, wobei S die Spitze ist, und M der Mittelpunkt
[mm] V=\bruch{1}{3}*A_g*h=\bruch{1}{3}*\wurzel[2]{260}*\wurzel[2]{36t^2+25t^2+4t^2}=\bruch{1}{3}*\wurzel[2]{260}*\wurzel[2]{65t^2}=24VE [/mm]

Nun nach t auflösen.

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Abstand eines punktes zu einer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:34 Sa 12.05.2012
Autor: abakus


> Genau so ist es.
>  
> Und nun gehts los:
>  h=|S-M|, wobei S die Spitze ist, und M der Mittelpunkt
>  
> [mm]V=\bruch{1}{3}*A_g*h=\bruch{1}{3}*\wurzel[2]{260}*\wurzel[2]{36t^2+25t^2+4t^2}=\bruch{1}{3}*\wurzel[2]{26}*\wurzel[2]{65t^2}=24VE[/mm]
>  
> Nun nach t auflösen.

Vermutlich geht es viel einfacher.
Weiter vorn im Thread wunrde ein Punkt T bzw. die Strecke ST als Höhe genannt.
Ich vermute, dass T der Höhenfußpunkt in der Ebene E war. Bei einer geraden Pyramide muss mann einfach nur den Vektor ST nicht von S aus, sondern vom Mittelpunkt des Rechtecks aus in den Raum schicken.
Gruß Abakus


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Abstand eines punktes zu einer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:44 Sa 12.05.2012
Autor: Richie1401

Warum einfach, wenn es auch schwer geht? ;)
Falls T tatsächlich dieser Punkt ist, dann ist es natürlich besser, wenn man deine Variante benutzt.

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Abstand eines punktes zu einer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:17 Sa 12.05.2012
Autor: Germanmausi

g:x= (3:5:3) + t ( -6 :5 :2)

ich weiss nicht wo der punkt jetzt bei einer geraden pyramide sein sollte ..bzw. wie loese ich nach t auf ? :(

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Abstand eines punktes zu einer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:26 Sa 12.05.2012
Autor: Richie1401

Meine letzten Gleichung kann man doch simpel nach t auflösen.

Und die Punkte auf der Geraden sind $ P=(3-6t ; 5+5t ; 3+2t) $ für alle t aus [mm] \IR [/mm]

Aber der Hinweis von Abakus ist natürlich richtig.

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Abstand eines punktes zu einer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:33 Sa 12.05.2012
Autor: Germanmausi

AHAAAA , das heisst jetzt sollte ich nach t aufloesen und dies in die gleichung der geraden einsetzen um den punkt zu bestimmen ?

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Abstand eines punktes zu einer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:36 Sa 12.05.2012
Autor: Richie1401

Absolut. Das wäre eine Möglichkeit um den Punkt zu bestimmen. Zumal es ja zwei Punkte gibt!

Die andere hat eben abakus geschrieben. Das wäre dann die Verschiebung des Punktes S' der schiefen Pyramide. Wobei man eben beachten muss, dass es ja noch einen Punkt S gibt, der die Bedingung des gleichen Volumens erfüllt (der gespiegelte an der Ebene)

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Abstand eines punktes zu einer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Sa 12.05.2012
Autor: Germanmausi

erstmal bin ich dir sehr dankbar fuer deine schnellen antworte ..:)

ich hab fuer t = 0,55 raus ..
und fuer den punkt (-0,3: 7,75: 4,1 )

ist es denn jetzt richtig ?

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Abstand eines punktes zu einer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:01 Sa 12.05.2012
Autor: Richie1401

Das habe ich auch heraus.

aber wie gesagt: t=-0,55 ist auch eine Lösung.

Und die Werte sind gerundet. Keine Ahnung, wie "eng" ihr das seht, aber kann sein, dass es da auch Stress gibt ;)

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Abstand eines punktes zu einer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:06 Sa 12.05.2012
Autor: Germanmausi

Vilen Vielen DAnk :D !! richie :) !!! was haette ich ohne dich gemacht !!


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