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| Aufgabe | Gegeben sind ein Punkt P und eine Ebene E. Bestimmen Sie den Fußpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E. Berechnen Sie den Abstand von P zur Ebene E.
a) P(-2|0|3) und E: [mm] 12x_{1}+6x_{2}-4x_{3}= [/mm] 13 |
Hallo MatheForum!
Ein neues (mein letztes!) Schuljahr hat begonnen und wieder tun sich für mich mathematische Abrgünde auf.
Thema: Abstand eines Punktes von einer Ebene.
Der Lehrer hat uns ein paar Aufgaben für zu Hause (mit bereits vorgegebenen Lösungen) aufgegeben. Leider habe ich schon bei der ersten, obigen Rechnung Schwierigkeiten, obwohl ich sie exakt nach dem gelernten Schema bearbeitet habe.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand meinen Fehler zeigen könnte!
Der richtige Lösung lautet jedenfalls:
Lotfußpunkt F (1|1,5|2) und Abstand 3,5
Hier also mein Rechenweg:
Normalenvektor von E ist Richtungsvekor der Lotgeraden g
=> [mm] \overrightarrow{n}= \vektor{12 \\ 6 \\ -4}
[/mm]
g: [mm] \overrightarrow{x}= \vektor{-2 \\ 0 \\ 3} [/mm] + t* [mm] \vektor{12 \\ 6 \\ -4}
[/mm]
Geradengleichung entnimmt man:
[mm] x_{1}= [/mm] -2+12t
[mm] x_{2}= [/mm] 6t
[mm] x_{3}= [/mm] 3-4t
Eingesetzt in die Ebenegleichung:
12*(-2+12t)+6*6t-4*(3-4t)
t= 4
t=4 eingesetzt in die Geradengleichung:
[mm] \overrightarrow{f}= \vektor{-2 \\ 0 \\ 3} [/mm] + 4* [mm] \vektor{12 \\ 6 \\ -4}= \vektor{46 \\ 24 \\ -13}
[/mm]
also F(46|24|-13) (was ja falsch ist!)
Damit ist auch der Abstand falsch, der gleich dem betrag des Vektors [mm] \overrightarrow{PF}. [/mm] Ausgerechnet habe ich dafür [mm] \sim39,5
[/mm]
Nun ja.
Ich bin meine Rechnung mehrmals durchgegangen, kann den Fehler aber nicht finden. Beim Normalenvektor [mm] \overrightarrow{n} [/mm] könnte man vielleicht kürzen, aber auch ungekürzt müsste ich ja auf dasselbe Ergebnis kommen …
Ich weiß also wirklich nicht, wo der Fehler liegt.
Also bitte helfen!
LG Eli
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Hi, Elisabeth,
> Gegeben sind ein Punkt P und eine Ebene E. Bestimmen Sie
> den Fußpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E.
> Berechnen Sie den Abstand von P zur Ebene E.
>
> a) P(-2|0|3) und E: [mm]12x_{1}+6x_{2}-4x_{3}=[/mm] 13
>
> Der richtige Lösung lautet jedenfalls:
> Lotfußpunkt F (1|1,5|2) und Abstand 3,5
>
> Hier also mein Rechenweg:
>
> Normalenvektor von E ist Richtungsvekor der Lotgeraden g
> => [mm]\overrightarrow{n}= \vektor{12 \\ 6 \\ -4}[/mm]
>
> g: [mm]\overrightarrow{x}= \vektor{-2 \\ 0 \\ 3}[/mm] + t*
> [mm]\vektor{12 \\ 6 \\ -4}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Geradengleichung entnimmt man:
> [mm]x_{1}=[/mm] -2+12t
> [mm]x_{2}=[/mm] 6t
> [mm]x_{3}=[/mm] 3-4t
>
> Eingesetzt in die Ebenegleichung:
>
> 12*(-2+12t)+6*6t-4*(3-4t)
fehlt: "= 13".
> t= 4
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ausführlich: -24 + 144t + 36t - 12 + 16t = 13
<=> 196t = 49 <=> t = 1/4
Und damit wird natürlich auch der Rest falsch!
Aber: Nur ein klitzekleiner Rechenfehler!
Daher: Nicht verzweifeln!
mfG!
Zwerglein
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Hallo!
Vielen, vielen Dank!
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