Abstand Punkt Gerade mit Param < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Do 31.03.2022 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P.
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 3 \\ -1} [/mm] + [mm] r*\vektor{1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
P ( 8 / p / 5 )
Bestimme p so, dass der Punkt P von der Geraden g den Abstand 5 hat. |
Moin, Moin!
Ich möchte die Aufgabe über das Lotfußpunktverfahren lösen.
1. Ich bilde den Vektor [mm] \overrightarrow{PF}, [/mm] in dem ich einen allgemeinen Geradenpunkt verwende.
[mm] \overrightarrow{PF} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 3 \\ -1} [/mm] + [mm] r*\vektor{1 \\ -2 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{8 \\ p \\ 5}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PF} [/mm] = [mm] \vektor{ -4 \\ 3-p \\ -6} [/mm] + [mm] r*\vektor{1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
2. Lotfußpunkt herausfinden
Da [mm] \overrightarrow{PF} [/mm] orthogonal zur Geraden g und damit zum Richtungsvektor [mm] \vec{v} [/mm] verlaufen muss, gilt:
[mm] \overrightarrow{PF}*\vec{v} [/mm] = 0
[mm] [\vektor{ -4 \\ 3-p \\ -6} [/mm] + [mm] r*\vektor{1 \\ -2 \\ 1}]*\vektor{1 \\ -2 \\ 1} [/mm] = 0
-4 + r -6 +2p +4r -6 +r = 0
6r -16 +2p = 0
r = [mm] \bruch{8}{3} -\bruch{1}{3}p
[/mm]
Der Lotfußpunkt lautet:
[mm] \overrightarrow{OF} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 3 \\ -1} [/mm] + [mm] (\bruch{8}{3} -\bruch{1}{3}p)*\vektor{1 \\ -2 \\ 1} [/mm]
[mm] \overrightarrow{OF} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{20}{3} - \bruch{1}{3}p \\ - \bruch{7}{3} + \bruch{2}{3}p\\ \bruch{5}{3} -\bruch{1}{3}p}
[/mm]
3. [mm] \overrightarrow{PF} [/mm] bilden
[mm] \overrightarrow{PF} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{20}{3} - \bruch{1}{3}p \\ - \bruch{7}{3} + \bruch{2}{3}p\\ \bruch{5}{3} -\bruch{1}{3}p} [/mm] - [mm] \vektor{8 \\ p \\ 5}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PF} [/mm] = [mm] \vektor{ - \bruch{4}{3} - \bruch{1}{3}p \\ - \bruch{7}{3} - \bruch{1}{3}p\\ - \bruch{10}{3} -\bruch{1}{3}p}
[/mm]
4. Abstand bzw. p berechnen
| [mm] \overrightarrow{PF} [/mm] | = [mm] \wurzel{(- \bruch{4}{3} - \bruch{1}{3}p)^2 + (- \bruch{7}{3} - \bruch{1}{3}p)^2 + (- \bruch{10}{3} -\bruch{1}{3}p)^2} [/mm] = 5 | [mm] ()^2 [/mm]
(- [mm] \bruch{4}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}p)^2 [/mm] + (- [mm] \bruch{7}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}p)^2 [/mm] + (- [mm] \bruch{10}{3} -\bruch{1}{3}p)^2 [/mm] = 25
[mm] \bruch{16}{9} +\bruch{8}{9}p [/mm] + [mm] \bruch{1}{9}p^2 [/mm] + [mm] \bruch{49}{9} +\bruch{14}{9}p [/mm] + [mm] \bruch{1}{9}p^2 [/mm] + [mm] \bruch{100}{9} +\bruch{20}{9}p [/mm] + [mm] \bruch{1}{9}p^2 [/mm] = 25
[mm] \bruch{55}{3} +\bruch{14}{3}p [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}p^2 [/mm] = 25
[mm] \bruch{1}{3}p^2 +\bruch{14}{3}p [/mm] + [mm] \bruch{55}{3} [/mm] = 25
[mm] \bruch{1}{3}p^2 +\bruch{14}{3}p [/mm] - [mm] \bruch{20}{3} [/mm] = 0
[mm] p^2 [/mm] +14p - 20 = 0 [ korrigiert s. Antwort ]
[mm] p_1 [/mm] = 1,31
[mm] P_2 [/mm] = -15,31
Richtig?
Danke & Gruß
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> Richtig?
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Ja, alles richtig, nur zuletzt steht da [mm] p^2 [/mm] + [mm] \14p [/mm] - 20 = 0 statt [mm] p^2 [/mm] + [mm] \red{1}4p [/mm] - 20 = 0, liegt aber am überflüssigen backslash, Ergebnis ist trotzdem richtig.
Schneller und sicherer geht die Lotfußbestimmung aber mit der Ebenengleichung in Normalenform, falls du die schon kennst:
Lass g senkrecht durch eine zunächst beliebige Ebene gehen. Dann ist der Richtungsvektor von g ein Normalenvektor, und die Ebene hat die Gleichung
x - 2y + z - e = 0 mit unbekanntem e.
Diese Ebene schiebst du in Gedanken so lange an g entlang, bis P in dieser Ebene liegt. Dabei verändert sich nur e. Wenn P in der Ebene liegt, erfüllen seine Koordinaten die Ebenengleichung, und es wird
x - 2y + z - e = 8 - 2p + 5 - e = 0, also e = 13 - 2p.
Damit heißt nun die Ebenengleichung x - 2y + z -13 + 2p =0
Setzt du darin die Koordinaten von g ein, erhältst du den Lotfußpunkt:
(4+r) - 2(3-2r) + (-1+r) - 13 + 2p = 0
4 - 6 - 1 - 13 + r + 4r + r + 2p = 0
6r - 16 + 2p = 0
r = 8/3 - p/3
Rest wie bei dir.
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