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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Abstand Punkt Ebene
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Abstand Punkt Ebene: Komponentenberechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:52 Mi 18.09.2013
Autor: sonic5000

Hallo,
für den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene gilt folgende Formel:

[mm] d=\bruch{|\vec{n}\circ(\vec{r_{Q}}-\vec{r_{1}})|}{|\vec{n}|} [/mm]

Gegeben seien nun alle Werte außer die Z Komponente von Vektor n ...

Kann mir einer erklären wie ich diese Formel nach [mm] n_{z} [/mm] umstellen kann?

Gruß und danke im Vorraus...

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.

        
Bezug
Abstand Punkt Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:01 Mi 18.09.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  für den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene gilt
> folgende Formel:
>  
> [mm]d=\bruch{|\vec{n}\circ(\vec{r_{Q}}-\vec{r_{1}})|}{|\vec{n}|}[/mm]
>  
> Gegeben seien nun alle Werte außer die Z Komponente von
> Vektor n ...
>  
> Kann mir einer erklären wie ich diese Formel nach [mm]n_{z}[/mm]
> umstellen kann?
>  
> Gruß und danke im Vorraus...


Hallo,

setze die bekannten Zahlenwerte ein und stelle das
Skalarprodukt nach seiner algebraischen Definition
als Summe von 3 Produkten dar. Dann kommst du zu
einer linearen quadratischen Gleichung für die
gesuchte Komponente.

LG ,   Al-Chw.


Bezug
        
Bezug
Abstand Punkt Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Mi 18.09.2013
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Ich kann Al nicht zustimmen, denn man bekommt keine lineare Gl. für die z - Komponente, sondern eine quadratische:

Ich lasse die blöden Pfeile weg und führe folgende Bezeichnungen ein:

   n=(x_0,y_0,z_0)  und r_Q-r_1=(a,b,c).

Aus

$ d=\bruch{|\vec{n}\circ(\vec{r_{Q}}-\vec{r_{1}})|}{|\vec{n}|} $

folgt dann:

$ d=\bruch{|ax_0+by_0+cz_0|}{\wurzel{x_0^2+y_0^2+z_0^2} $.

Quadrieren führt auf:

d^2(x_0^2+y_0^2+z_0^2)^2=(ax_0+by_0+cz_0)^2,



Edit: da ist ein Quadrat zuviel. Richtig lautet es:

d^2(x_0^2+y_0^2+z_0^2)=(ax_0+by_0+cz_0)^2,



also auf eine quadratische Gleichung für das gesuchte z_0.

FRED




Bezug
                
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Abstand Punkt Ebene: ups ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:52 Mi 18.09.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Ich kann Al nicht zustimmen, denn man bekommt keine lineare
> Gl. für die z - Komponente, sondern eine quadratische:


Oh, da habe ich offenbar nicht genau hingeschaut und
meinte, es ginge um eine z-Komponente eines Orts-
vektors ...

Al

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Bezug
Abstand Punkt Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:12 Do 19.09.2013
Autor: sonic5000

Hallo,

wenn ich für die quadratische Gleichung

[mm] d^2(x^2+y^2+z^2)^2=(ax+by+cz)^2 [/mm]

Werte eingebe haut das irgendwie nicht hin... Beispiel:

Ich habe [mm] \vec{n}=(2;4;6) [/mm] und [mm] \vec{a}=(3;5;2) [/mm] So komme ich laut Vektorberechnung des Taschenrechners auf d=5,08.

Wenn ich nun die Komponenten in die quadratische Gleichung eingebe geht sie nicht auf...

Was habe ich falsch gemacht? Wie komme ich von der Vektorgleichung auf die z Komponente? Muss ich bei der Umformung auf den Einheitsvektor achten? Kann mir einer zeigen wie die Fallunterscheidung bei Vektorbetragen funktioniert?

Gruß und besten Dank im Voraus...



Bezug
                        
Bezug
Abstand Punkt Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:47 Do 19.09.2013
Autor: sonic5000

O.K. Das hätte ich vielleicht noch dazu schreiben können:

Laut Buch folgt aus Gleichung:

[mm] d=\bruch{|\vec{n}\circ\vec{a}|}{|\vec{n}|} [/mm]

die Betragsgleichung:

[mm] |n_{z}-1|=\wurzel{5+n_{z}^{2}} [/mm]

für folgende Werte: [mm] \vec{n}=(2;1;n_{z}) [/mm]  und [mm] \vec{a}=(-1;0;2) [/mm] d=2

Die zweite Gleichung nach [mm] n_{z} [/mm] umstellen habe ich verstanden...

Aber wie komme ich von der ersten auf die zweite?


Bezug
                                
Bezug
Abstand Punkt Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:09 Do 19.09.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> O.K. Das hätte ich vielleicht noch dazu schreiben
> können:
>  
> Laut Buch folgt aus Gleichung:
>  
> [mm]d=\bruch{|\vec{n}\circ\vec{a}|}{|\vec{n}|}[/mm]
>  
> die Betragsgleichung:
>  
> [mm]|n_{z}-1|=\wurzel{5+n_{z}^{2}}[/mm]
>  
> für folgende Werte: [mm]\vec{n}=(2;1;n_{z})[/mm]  und
> [mm]\vec{a}=(-1;0;2)[/mm] d=2
>  
> Die zweite Gleichung nach [mm]n_{z}[/mm] umstellen habe ich
> verstanden...
>  
> Aber wie komme ich von der ersten auf die zweite?



Es ist   [mm] $\vec{n}\circ\vec{a}\ [/mm] =\ [mm] -2+0+2*n_z$ [/mm] ,

also   $\ [mm] |\vec{n}\circ\vec{a}|\ [/mm] =\ [mm] |-2+0+2*n_z|\ [/mm] =\ [mm] 2*|n_z-1|$ [/mm]

und   $\ [mm] |\vec{n}|\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{ \vec{n}\circ\vec{n}}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{(-2)^2+(1)^2+(n_z)^2}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{5+n_z^{2}}$ [/mm]

Alles klar ?

Schönen Tag !
Al-Chw.



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Abstand Punkt Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:38 Do 19.09.2013
Autor: sonic5000

Manchmal hat man in der Mathematik ein großes Brett vorm Kopf;-) Danke für Deine Ausdauer...

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Bezug
Abstand Punkt Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:23 Do 19.09.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> wenn ich für die quadratische Gleichung
>  
> [mm]d^2(x^2+y^2+z^2)^2=(ax+by+cz)^2[/mm]   [haee]

Hast du da mit der Quadriererei nicht etwas zuviel
des Guten getan ?
  

> Werte eingebe haut das irgendwie nicht hin... Beispiel:
>  
> Ich habe [mm]\vec{n}=(2;4;6)[/mm] und [mm]\vec{a}=(3;5;2)[/mm] So komme ich
> laut Vektorberechnung des Taschenrechners auf d=5,08.
>  
> Wenn ich nun die Komponenten in die quadratische Gleichung
> eingebe geht sie nicht auf...
>  
> Was habe ich falsch gemacht? Wie komme ich von der
> Vektorgleichung auf die z Komponente? Muss ich bei der
> Umformung auf den Einheitsvektor achten? Kann mir einer
> zeigen wie die Fallunterscheidung bei Vektorbetragen
> funktioniert?
>  
> Gruß und besten Dank im Voraus...


Ich dachte doch, der Vektor [mm] \vec{n} [/mm]  sei gar nicht vollständig
gegeben ... (?)
Eigentlich solltest du nach dem Einsetzen der bekannten
Werte eine quadratische Gleichung nur für die gesuchte
Komponente haben.

LG


Bezug
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