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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 So 17.10.2004 | | Autor: | DSJuster |
Die Aufgabe lautet:
Gegeben sind die drei Vektoren a = (2/-1/1) b=( 4/3/2) und c =(3/7/5)
Welchen Abstand h hat der Endpunkt des Vektors c von der von a und b aufgespannten Ebene?
Ich komm hier nicht weiter ... wäre schön wenn mir hier jemand von euch helfen könnte. Ich denke es muss eigentlich ganz einfach sein nur ich versteh irgendwas falsch keine Ahnung
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 So 17.10.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo DSJuster,
ich werde mal zunächst nur versuchen, Dir zu plausibilisieren, wie man auf die Lösung kommt, vielleicht kommst Du damit dann ja selbst auf die Lösung:
Wir haben drei Vektoren gegeben, $a = [mm] \vektor{2\\-1\\1}$, [/mm] $b = [mm] \vektor{4\\3\\2}$ [/mm] und $c = [mm] \vektor{3\\7\\5}$.
[/mm]
Diese spannen die Ebene $E = [mm] \lambda [/mm] * a + [mm] \tau [/mm] * b$ auf, der Abstand zwischen zwei Objekten ist zudem im euklidischen Raum die kürzeste Gerade, die man zwischen den beiden Objekten ziehen kann, in diesem Fall also eine Senkrechte auf der Ebene, die durch den Endpunkt von $c$ verläuft.
Vektoren, die senkrecht auf anderen Vektoren stehen, findet man mit dem Kreuzprodukt:
$v x w = [mm] \vektor{v_1\\v_2\\v_3} [/mm] x [mm] \vektor{w_1\\w_2\\w_3} [/mm] = [mm] \vektor{{v_2}{w_3} - {v_3}{w_2}\\{v_3}{w_1} - {v_1}{w_3}\\{v_1}{w_2} - {v_2}{w_1}}$
[/mm]
Nun kannst Du noch eine parallele Ebene durch die Spitze von $c$ legen und den Abstand beider Ebenen vom Nullpunkt als Referenz für den Abstand der Ebenen untereinander wählen.
Du musst dann lösen:
$c + [mm] \lambda [/mm] * a + [mm] \tau [/mm] * b = [mm] \sigma [/mm] * (a x b)$,
hierbei stellt ersteres die zu $E$ parallele Ebene mit Stützvektor $c$ dar und [mm] $\sigma [/mm] * (a x b)$ den Vektor, dessen Länge den Abstand der Ebenen zueinander und damit von der Spitze von $c$ zur von $a$ und $b$ aufgespannten Ebene ergibt.
Ich hoffe, damit kommst Du etwas weiter, bei Fragen kannst Du Dich einfach melden.
greetz
AT-Colt
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Hallo.
Die Aufgabe liesse sich über die hesse'sche Abstandsformel lösen:
[mm]h = \left|(\vec c - \vec d)\cdot{} \vec n_0\right|[/mm]
[mm]h[/mm] ist der Abstand des Punktes, auf den der Ortsvektor [mm]\vec c[/mm] zeigt, von der Ebene. [mm]\vec d[/mm] ist ein Ortsvektor auf einen Punkt, der auf der Ebene liegt. [mm]\vec n_0[/mm] ist der normierte Normalenvektor der Ebene, d.h. ein Vektor der Länge 1, der senkrecht auf der Ebene steht.
Ein Normalenvektor [mm]\vec n[/mm] muss senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren [mm]\vec a[/mm] und [mm]\vec b[/mm] stehen, das Skalarprodukt von [mm]\vec n[/mm] mit [mm]\vec a[/mm] und mit [mm]\vec b[/mm] muss also 0 sein:
[mm]\vec n\cdot{}\vec a = 0[/mm]
[mm]\vec n\cdot{}\vec b = 0[/mm]
[mm]\vec n = \begin{pmatrix}n_1 \\ n_2 \\ n_3\end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec a = \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec b = \begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}[/mm]
Es ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem:
I [mm]2n_1-n_2+n_3 = 0[/mm]
II [mm]4n_1+3n_2+2n_3=0[/mm]
Nimmt man Gleichung I mal (-2) und addiert I und II so erhält man [mm]n_2=0[/mm]. Dies setzt man in eine der beiden Gleichungen ein und erhält [mm]n_3=-2n_1[/mm]. Man erhält den Normalenvektor [mm]\vec n = \begin{pmatrix}n_1\\0\\-2n_1\end{pmatrix}[/mm]. Diesen normiert man nun indem man ihn mit dem Kehrwert seines Betrages (seiner Länge) multipliziert. Es ergibt sich [mm]\vec n_0 = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{5}}\\0\\\frac{-2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}[/mm].
Ich nehme an, die durch [mm]\vec a[/mm] und [mm]\vec b[/mm] aufgespannte Ebene soll durch den Ursprung gehen, also kann man [mm]\vec d = \vec 0[/mm] festlegen.
Es ergibt sich
[mm]h = \left|\vec c\cdot{}\vec n_0\right|[/mm]
[mm]= \left|\begin{pmatrix}3\\7\\5\end{pmatrix}\cdot{}\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{5}}\\0\\\frac{-2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}\right|[/mm]
[mm] = \left|\frac{-7}{\sqrt{5}}\right|[/mm]
[mm] = \frac{7}{\sqrt{5}}[/mm]
Ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet und konnte dir weiterhelfen.
MfG
Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 So 17.10.2004 | | Autor: | DSJuster |
Danke .... ihr seid einmalig
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