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Abstand Geraden/ Punkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Sa 14.07.2012
Autor: Stift

Hallo, ich habe hier zwei aufgaben mit musterlösung. Jedoch habe ich zu den lösungen fragen:
1. Geben sie den abstand der punkte [mm] p_{1}=\vektor{1 \\ 2} [/mm] , [mm] p_{2}=\vektor{5 \\ 5} [/mm] , [mm] p_{3}=\vektor{1 \\ 1} [/mm] von der geraden durch [mm] \vektor{0 \\ 5} [/mm] und [mm] \vektor{12 \\ 0} [/mm] an.
Lösung: [mm] G=\vektor{0 \\ 5} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{12 \\ -5} [/mm]
Wie kommt man zu [mm] \vektor{12 \\ -5}? [/mm] Vielleicht indem man [mm] \vektor{12 \\ 0}-\vektor{0 \\ 5}? [/mm]

[mm] \vektor{12 \\ -5} [/mm] ist orthogonal zu [mm] \vektor{5 \\ 12} [/mm]
Woher nimmt man jetzt [mm] \vektor{5 \\ 12} [/mm] ? Nimmt man das jetzt nur weils das orthogonale ist oder hat mans irgendwie berechnet?
[mm] u=\vektor{5 \\ 12} [/mm]
[mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel^{2}=5^{2}+12^{2}=13^{2} [/mm]
Wieso ist das jetzt gleich [mm] 13^{2}? [/mm]
[mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel= [/mm] 13
[mm] f\vektor{x \\ y}= [/mm] < [mm] \vektor{x-0 \\ y-5}, \bruch{1}{13}* \vektor{5 \\ 12}> [/mm]
Wieso schreibt man das so auf?
= [mm] \bruch{1}{13} [/mm] (5x+12y-60)
Wie kommt man zu dieser Zeile?

2. Berechnen sie den abstand der geraden g1 durch [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] von der geraden g2 durch [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 6} [/mm] und
[mm] \vektor{6 \\ 5 \\ 4} [/mm]
g1= [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3}+ \lambda* \vektor{1 \\ 1 \\ -2} [/mm]
Woher kommt der vektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -2}? [/mm]

[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -2} [/mm] x [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ -2}= \vektor{-2 \\ -2 \\ -2} [/mm] =u
Wie kommt man zu diesem vektor [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ -2}? [/mm]

[mm] g2=\vektor{5 \\ 4 \\ 6}+ \mu \vektor{2 \\ 0 \\ -2} [/mm]
Wie kommt man hier zu [mm] \vektor{5 \\ 4 \\ 6} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ -2}? [/mm]
[mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel^{2}= [/mm] 12
Wie kommt man auf 12?
[mm] \bruch{u}{\parallel u \parallel}= \bruch{1}{\wurzel{3}} \vektor{-1 \\ -1 \\ -1} [/mm]
Was muss man berechnen um [mm] \bruch{u}{\parallel u \parallel} [/mm] zu erhalten?
dist(g1,g2)= [mm] <\vektor{4 \\ 5 \\ 6}-\vektor{2 \\ 1 \\ 3}, \bruch{u}{\parallel u \parallel}> [/mm]
Wieso nimmt man diese zwei Vektoren?
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] < [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 3}, \vektor{-1 \\ -1 \\ -1} [/mm] > =  [mm] \bruch{-9}{\wurzel{3}} [/mm]

Ich weiß dass es sehr viele fragen sind. Ich hoffe dass mir helfen kann.

Gruß

        
Bezug
Abstand Geraden/ Punkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Sa 14.07.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> 1. Geben sie den abstand der punkte [mm]p_{1}=\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> , [mm]p_{2}=\vektor{5 \\ 5}[/mm] , [mm]p_{3}=\vektor{1 \\ 1}[/mm] von der
> geraden durch [mm]\vektor{0 \\ 5}[/mm] und [mm]\vektor{12 \\ 0}[/mm] an.
> Lösung: [mm]G=\vektor{0 \\ 5}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{12 \\ -5}[/mm]
> <SPAN style="COLOR: red">Wie kommt man zu [mm]\vektor{12 \\ -5}?[/mm] Vielleicht indem man </SPAN>
> <SPAN style="COLOR: red">[mm]\vektor{12 \\ 0}-\vektor{0 \\ 5}?[/mm]

So ist es. Das ist doch nichts anderes als der Richtungsvekttor der Geraden G, berechnet als Differenz der beiden Punkte.

>
> [mm]\vektor{12 \\ -5}[/mm] ist orthogonal zu [mm]\vektor{5 \\ 12}[/mm]
> <SPAN style="COLOR: red">Woher nimmt man jetzt [mm]\vektor{5 \\ 12}[/mm] ? Nimmt man das </SPAN>
> jetzt nur weils das orthogonale ist oder hat mans irgendwie
> berechnet?
> [mm]u=\vektor{5 \\ 12}[/mm]

Das kann man natürlich im [mm] \IR^2 [/mm] sofort sehen. Die Komponenten vertauschen und ein Vorzeichen umdrehen ergibt hier stets einen orthogonalen Vektor. Formaler könnte man einen Vektor [mm] \vec{u} [/mm] einführen und das Verhältnis seiner Komponenten über die Forderung, dass das Skalarprodukt von u und dem Richtungsvektor von G gleich Null sein muss, berechnen. Also

[mm] \vec{u}*\vektor{5 \\ 12}=0 [/mm]

> [mm]\parallel[/mm] u
> [mm]\parallel^{2}=5^{2}+12^{2}=13^{2}[/mm]
> Wieso ist das jetzt gleich [mm]13^{2}?[/mm]

[mm] 5^2+12^2=169=^3^2 [/mm] (-> Pythagoräische Zahlentripel)-

> [mm]\parallel[/mm] u [mm]\parallel=[/mm] 13

Genau, der Betrag von u ist gleich 13 LE.

> [mm]f\vektor{x \\ y}=[/mm] < [mm]\vektor{x-0 \\ y-5}, \bruch{1}{13}* \vektor{5 \\ 12}>[/mm]
>
> Wieso schreibt man das so auf?
> = [mm]\bruch{1}{13}[/mm] (5x+12y-60)
> Wie kommt man zu dieser Zeile?
>

Das ist die Hessesche Normalenform, und ihr solltet sie sicherlich durchgenommen haben.

> 2. Berechnen sie den abstand der geraden g1 durch [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 3}[/mm]
> und [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ 1}[/mm] von der geraden g2 durch [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ 6}[/mm]
> und
> [mm]\vektor{6 \\ 5 \\ 4}[/mm]
> g1= [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 3}+ \lambda* \vektor{1 \\ 1 \\ -2}[/mm]
>
> <SPAN style="COLOR: red">Woher kommt der vektor [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -2}?[/mm]</SPAN>

Gleiche NAtwort wie oben: Differenz der beiden festlegenden Punkte.

>
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -2}[/mm] x [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ -2}= \vektor{-2 \\ -2 \\ -2}[/mm]
> =u
> <SPAN style="COLOR: red">Wie kommt man zu diesem vektor [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ -2}?[/mm]</SPAN>

Das ist der Richtungsvektor von [mm] g_2. [/mm]

>
> [mm]g2=\vektor{5 \\ 4 \\ 6}+ \mu \vektor{2 \\ 0 \\ -2}[/mm]
> Wie
> <SPAN style="COLOR: red">kommt man hier zu [mm]\vektor{5 \\ 4 \\ 6}[/mm] und [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ -2}?[/mm]</SPAN>

Stützvektor [mm] \mu*Richtungsvektor. [/mm] Einfach nur die Parameterdarstellung einer Geraden.

>
> [mm]\parallel[/mm] u [mm]\parallel^{2}=[/mm] 12
> Wie kommt man auf 12?

Das Quadrat des Betrags des Kreuzproduktes der Richtungsvektoren von [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2. [/mm]

> [mm]\bruch{u}{\parallel u \parallel}= \bruch{1}{\wurzel{3}} \vektor{-1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
> Was muss man berechnen um [mm]\bruch{u}{\parallel u \parallel}[/mm]
> zu erhalten?

Nun, den Vektor [mm] \vec{u} [/mm] (der hier das besagte Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist) mit dem Kehrwert seines Betrags multipliziert. Dabei erhält man einen normierten Vektor der Länge 1 LE.

> dist(g1,g2)= [mm]<\vektor{4 \\ 5 \\ 6}-\vektor{2 \\ 1 \\ 3}, \bruch{u}{\parallel u \parallel}>[/mm]
> Wieso nimmt man diese zwei Vektoren?
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm] < [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ 3}, \vektor{-1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
> > = [mm]\bruch{-9}{\wurzel{3}}[/mm]

Das ist nun nicht mehr so ganz elementar zu beantworten. Eine geometrisch anschauliche Erklräung läuft über einen Körper namens Spat bzw. Parallelepiped. Weißt du, was das ist?

Und an dieser Stelle möchte ich dir gleich einen gutgemeinten Ratschlag aussprechen: wenn dir meine Tipps hier etwas sagen, dann solltest du, vielleicht nach der einen oder anderen Rückfrage, die Rechnungen hier leicht nachvollziehen können.

Wenn sie dir allerdings nichts sagen, dann hast du auf dem Gebiet der Vektorgeometrie so eklatante Wissenslücken, dass es sicherlich viel sinnvoller wäre, dass du dich ertsmal gründlich in die Materie einliest, bevor du hier weitermachst. Eine sehr schöne Zusammenfassung dieses Gebietes findet man in

L. Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band I, Kapitel 2.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Abstand Geraden/ Punkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Mi 18.07.2012
Autor: Stift

Hallo, danke für die antwort.


> > [mm]g2=\vektor{5 \\ 4 \\ 6}+ \mu \vektor{2 \\ 0 \\ -2}[/mm]
>  >

> Wie
>  > <SPAN style="COLOR: red">kommt man hier zu [mm]\vektor{5 \\ 4 \\ 6}[/mm]

> und [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ -2}?[/mm]</SPAN>
>  
> Stützvektor [mm]\mu*Richtungsvektor.[/mm] Einfach nur die
> Parameterdarstellung einer Geraden.
>  

Mir ist leider immer noch nicht klar, wie man zu dem vektor  [mm] \vektor{5 \\ 4 \\ 6} [/mm] kommt?

> [mm] \bruch{u}{\parallel u \parallel}= \bruch{1}{\wurzel{3}} \vektor{-1 \\ -1 \\ -1} [/mm]
> Nun, den Vektor $ [mm] \vec{u} [/mm] $ (der hier das besagte Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist) mit dem Kehrwert seines Betrags multipliziert. Dabei erhält man einen normierten Vektor der Länge 1 LE.

hier ist mir auch noch nicht klar wie ich auf [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] komme?
Nach deiner erklärung wäre das doch [mm] \bruch{1}{\wurzel{12}}* \vektor{-2 \\ -2 \\ -2}*| \vektor{-0.5 \\ -0.5 \\ -0.5}| =\bruch{1}{\wurzel{12}}*\vektor{-1 \\ -1 \\ -1} [/mm] oder was mache ich falsch?

Lg

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Bezug
Abstand Geraden/ Punkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Mi 18.07.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo, danke für die antwort.
>
>
> > > [mm]g2=\vektor{5 \\ 4 \\ 6}+ \mu \vektor{2 \\ 0 \\ -2}[/mm]
>
> > >
> > Wie
> > > <SPAN style="COLOR: red">kommt man hier zu [mm]\vektor{5 \\ 4 \\ 6}[/mm]
> > und [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ -2}?[/mm]</SPAN>
> >
> > Stützvektor [mm]\mu*Richtungsvektor.[/mm] Einfach nur die
> > Parameterdarstellung einer Geraden.
> >
> Mir ist leider immer noch nicht klar, wie man zu dem vektor
> [mm]\vektor{5 \\ 4 \\ 6}[/mm] kommt?

Ich habs nochmal durchgelesen: das war von vornherein ein Fehler, den du aber auch schon drin hattest, und dein Beitrag war ehrlich gesagt schon etwas anstrendend zum Lesen (der rote Text ist hier sehr verwirrend, da die Forensoftware so was im Fall von Klammerfehlern auch verwendet). Als Stützvektoren käme hier natürlich einer der gegebenen Punlte (4|5|6) bzw. (6|5|4) infrage.

> > [mm]\bruch{u}{\parallel u \parallel}= \bruch{1}{\wurzel{3}} \vektor{-1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
> > Nun, den Vektor [mm]\vec{u}[/mm] (der hier das besagte Kreuzprodukt
> der beiden Richtungsvektoren ist) mit dem Kehrwert seines
> Betrags multipliziert. Dabei erhält man einen normierten
> Vektor der Länge 1 LE.
>
> hier ist mir auch noch nicht klar wie ich auf
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm] komme?
> Nach deiner erklärung wäre das doch
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{12}}* \vektor{-2 \\ -2 \\ -2}*| \vektor{-0.5 \\ -0.5 \\ -0.5}| =\bruch{1}{\wurzel{12}}*\vektor{-1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
> oder was mache ich falsch?
>
> Lg

Was soll denn das sein???

Wenn schon, dann so:

[mm] \bruch{1}{\wurzel{12}}*\vektor{-2 \\ -2 \\ -2}=\bruch{2}{\wurzel{12}}*\vektor{-1 \\ -1 \\ -1}=\bruch{1}{\wurzel{3}}*\vektor{-1 \\ -1 \\ -1} [/mm]


Gruß, Diophant

PS: rechnest du eigentlich die Sachen immer direkt im Editor? Falls ja, würde ich dich bitten, immer erst alles schriftlich auf dem Papier zu machen, dabei auf schlüssige Darstellung und Vorgehensweise achten und deine so 'redigierte' Frage dann einzutippen. Sonst ist es wirklich sehr mühsam, das zu lesen. Und auch das mit dem Zitieren ist eine schöne Sache, aber übertrieben erreicht man das Gegenteil, von dem was man eigentlich möchte. Dann ist es nicht mehr übersichtlich sondern eher verwirrend.

Bezug
                                
Bezug
Abstand Geraden/ Punkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:48 Mi 18.07.2012
Autor: Stift

Hallo, danke.
Das mit der roten schrift merke ich mir. Ich bin zwar nicht der Meinung, dass ich zu viel zitiert habe, aber das ist jetzt egal.
Aufjedenfall danke nochmal.



Bezug
                                        
Bezug
Abstand Geraden/ Punkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:00 Mi 18.07.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo, danke.
> Das mit der roten schrift merke ich mir. Ich bin zwar
> nicht der Meinung, dass ich zu viel zitiert habe, aber das
> ist jetzt egal.

hm, ich habe einfach nur aus der Sicht des Helfers einen Ratschlag geben wollen, wie du deine Beiträge so gestaltest, dass sie besser nachvollziehbar sind. Selbstverständlich darfst du alles zitieren, was du möchtest, aber die Frage ist ja, möchtest du Hilfe haben oder ein Gesamtkunstwerk schaffen? :-)

Egel ist es aber im Prinzip schon. Viel wichtigern wäre ja jetzt: hat dir der Tipp jetzt weitergeholfen oder benötigst du weitere Hilfe?


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Abstand Geraden/ Punkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:04 Mi 18.07.2012
Autor: Stift

Hallo,
hast ja recht. Danke für deine hilfe, die sehr hilfreich war. Im moment ist alles ok und danke auch nochmal für die nachfrage.

Lg

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