Abstand Ebene Gerade < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Sa 03.04.2010 | | Autor: | JulGe |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Punkte auf der geraden g: [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ -3 \\ 5}+r*\vektor{1 \\ 2 \\ 2}, [/mm] die von der Ebene E: x1-4x2+8x3=1 den Abstand 13 haben. |
Hallo,
bei der Aufgabe komme ich gerade gar nicht weiter. Ich dachte erst, dass die Gerade vlt. Parallel zu der Ebene ist, so dass alle Punkte womöglich den Abstand 13 haben. Das is aber nicht der Fall und jetzt habe ich gerade keine Idee mehr, wie ich vorgehen soll.
Könnt Ihr mir weiterhelfen?
Viele Grüsse
Julian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Sa 03.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Also, dass die Gerade parallel zur Ebene ist, und dann noch mit dem Abstand 13, da musst du viel Glück haben! Wenn die Gerade parallel zur Ebene ist, und nicht den Abstand 13 hat, dann wirst du nie zwei Punkte finden die den Abstand 13 haben!
Zuerst einmal was ist gemeint mit Abstand von einer Ebene? Damit ist der kürzeste Abstand zur ebene gemeint, das heisst der Richtungsvektor vom Punkt zur Ebene muss auf der Ebene normal sein.
Das muss dir zuerst mal klar sein.
Kennst du die Hessesche Normalform? Ich würde es so lösen.
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Sa 03.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julian!
Den Tipp Hesse'sche Normalform hast Du je bereits erhalten. Bestimme Dir die beiden Hilfsebenen, welche den Abstand 13 [LE] zu der gegebenen Ebene hat.
Anschließend jeweils den Schnittpunkt mit der Gerade ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Sa 03.04.2010 | | Autor: | JulGe |
Vielen Dank erstmal.
Also die HNF ist ja [mm] \bruch{n1x1+n2x2+n3x3-d}{\wurzel{n1^{2}+n2^{2}+n3^{2}}}=0
[/mm]
Und für die n's setze ich den Normalenvektor der Ebene ein also [mm] \vec{n}=\vektor{1 \\ -4 \\ 8}
[/mm]
Aber die weitere Vorgehensweise ist mir nicht klar mit der Hilfeebene. Als Stützpunkt wähle ich ja den der Geraden und als ersten Richtungsvektor auch den der Geraden. Ist der zweite der Normalenvektor der gegebenen Ebene?
Gruss
Julian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Sa 03.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julian!
> Also die HNF ist ja
> [mm]\bruch{n1x1+n2x2+n3x3-d}{\wurzel{n1^{2}+n2^{2}+n3^{2}}}=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Oder kürzer:
$$E \ : \ [mm] \bruch{1}{\left|\vec{n}\right|}*\vec{n}*\vec{x} [/mm] \ = \ d$$
In dieser Darstellung gibt $d_$ den Abstand der Ebene zum Ursprung an.
Die beiden Hilfsebenen lauten dann:
[mm] $$E_{1/2} [/mm] \ : \ [mm] \bruch{1}{\left|\vec{n}\right|}*\vec{n}*\vec{x} [/mm] \ = \ d \ [mm] \red{\pm 13}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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