Abstand Ebene-Kugel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 So 14.05.2006 | | Autor: | Faaz |
| Aufgabe | Berechnen sie den Abstand (M,E)
E:(3/1/4) + s*(2/1/-1) + t*(3/2/1)
M: (1/2/3)
r:4 |
Hey hey!
Jo, sitze hier, an diesem sonnigen Sonntag ;) vor meinen Mathe HAs und bin mir nicht ganz sicher, wie ich sie lösen kann.
Zunächst habe ich die Parameterform der Ebenengleichung in die Koordinatenform umgeformt und folgendes herausbekommen:
E:3x-5y+z-8=0
(3/-5/1) ist mein Normalenvektor.
Nun müsste ich ja irgendwie mit der HNF den Abstand ablesen können, nur bin ich mir nicht sicher, welche Werte ich einsetzten muss, denn irgendwo muss ich M (1/2/3) ja auch noch eintragen...
Please help me out here! ;)
Vielen Dank schonmal für die Antworten, werde as soon as possible wieder reinschauen.
mfG FaaZ
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 So 14.05.2006 | | Autor: | Wolferl |
> Berechnen sie den Abstand (M,E)
> E:(3/1/4) + s*(2/1/-1) + t*(3/2/1)
> M: (1/2/3)
> r:4
> Hey hey!
> Jo, sitze hier, an diesem sonnigen Sonntag ;) vor meinen
> Mathe HAs und bin mir nicht ganz sicher, wie ich sie lösen
> kann.
> Zunächst habe ich die Parameterform der Ebenengleichung in
> die Koordinatenform umgeformt und folgendes
> herausbekommen:
>
> E:3x-5y+z-8=0
>
> (3/-5/1) ist mein Normalenvektor.
>
> Nun müsste ich ja irgendwie mit der HNF den Abstand ablesen
> können, nur bin ich mir nicht sicher, welche Werte ich
> einsetzten muss, denn irgendwo muss ich M (1/2/3) ja auch
> noch eintragen...
>
> Please help me out here! ;)
>
> Vielen Dank schonmal für die Antworten, werde as soon as
> possible wieder reinschauen.
> mfG FaaZ
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hi Faaz,
hier in München regnet es wie im Urwald. Aber hat auch was, wenn man Blick ins Grüne hat und nicht nass wird ...
Hier meine Überlegungen zur Lösung:
Der Abstand des Kreises, bzw. des Kreismittelpunktes von der Ebene lässt sich doch über die Länge eines Vektors senkrecht zur Ebene messen, also über den Normalenvektor mit einem Faktor dran.
Also kann ich doch mit der Parameterform der Ebene ausgehend vom Koordinatennullpunkt die Vektoren, die mir die Ebene beschreiben mit einem Vielfachen des Normalenvektors so addieren, dass ich zum Mittelpunkt der Kugel komme:
[mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
Damit steht da ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten. Das sollte sich lösen lassen. Dann kannst Du die Länge des Vektors
[mm]u * \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
ausrechnen, was der Abstand zwischen Ebene und Mittelpunkt der Kugel ist. Dann noch den Radius der Kugel abziehen und wir haben ein Ergebnis.
Liebe Grüße, Wolferl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 So 14.05.2006 | | Autor: | Faaz |
Hey!
Danke schonmal für deine schnelle Antwort, nur entweder du hast da einen Fehler in die Gleichung mit den 3 unbekannten gemacht, oder ich versteh die Umformung nicht?!
Zumal hat mein Lehrer gesagt, wir sollen die HNF benutzen bzw. es ist sehr hilfreich sie in diesem Problem anzuwenden...
Hat noch jemand anderes ne Idee?
Waiting for more answers :D
so far.. FaaZ
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:05 Mo 15.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
grundsätzlich setzt du in HNF ein
falls E= 2x1 - 3x2 -x3 + 10 = 0 und M(-1/-1/2), ist:
d = | [mm] \bruch{-2 +3 -2 +10}{ \wurzel{14}} [/mm] | = 2,4
mit r=2 => d (K,E)= 0,4
zu deiner aufgabe. komme nicht auf deine koordinatenform?!
x1= 3 + 2s + 3t
x2= 1 +s +2t <=> -2x2 = -2 -2s -4t
x3= 4 -s +t
ich addiere
x2+x3= 5 +3t
x1-2x2 = 1 -t <=> 3x1 -6x2 = 3 -3t
3x1 -5x2 +x3 = 8
oder doch! ok.
also eingesetzt in HNF ; M(1 / 2 / 3)
d = | [mm] \bruch{3*1 -5*2 +1*3 -8}{ \wurzel{3^2+(-5)^2+1^2}} [/mm] |
d = | [mm] \bruch{-12}{ \wurzel{35}} [/mm] | = 2,03
mit r=4 => d<r d.h. die Kugel schneidet die Ebene bzw. Abstand Kugel -> Ebene ist null.
gruss
w.
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