Abstände zeigen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Mi 01.06.2011 | | Autor: | pramar |
| Aufgabe | | Sei P ein beliebiger innerer Punkt des spitzwinklingen Dreiecks ABC. Man zeige, dass der größte Abstand D des Punktes P vom Rand des Dreiecks wenigstens doppelt so groß ist wie der kleinste Abstand d. Wann gilt D=2d? |
Hallo! Ich habe diese Aufgabe zu lösen und komm nicht so recht weiter. Kann mir jemand einen Denkanstoss geben? vielen Dank! Mfg Pramar
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
wenn Du einen Punkt nimmst, der direkt neben dem Rand liegt, ist die Sache absolut klar. Du willst also Punkte, wo das Verhältnis D/d möglichst klein ist. Nimm Dir mal ein paar ausgezeichnete Punkte, z.B. an welchem Punkt ist d am größten? Und wo ist D am kleinsten? Und wie sieht's jeweils mit dem Verhältnis dort aus. Wie verlaufen die Strecken zum nächsten und zum entferntesten Punkt für beliebige P?
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mi 01.06.2011 | | Autor: | pramar |
Ok danke, das klingt schon sehr gut. muss ich auch noch unterscheiden, ob das spitzwinklige Dreieck gleichseitig oder gleichschenklig oder allgemein ist? ich denke das macht einen unterschied
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Blech |
Probier's aus. Das ist mein ganzer Punkt. =)
Such Dir verschiedene logische Möglichkeiten raus und versuch dann zu verallgemeineren. Krieg ein Gefühl für das Problem und konkretisier das dann in einer sauberen Lösung. Das ist es auch, was Dir solche Aufgaben beibringen sollen.
Du hattest etwas allgemein gefragt, deswegen auch diese allgemeine Antwort, denn so lernst Du wirklich am meisten aus der Aufgabe. Wenn Du an etwas spezifischem hängst (oder eben wirklich verschiedene Sachen durchprobiert hast und trotzdem nicht weiterkommst), dann können wir das dann natürlich näher erörtern.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Fr 03.06.2011 | | Autor: | pramar |
Hallo! Das erste Problem, das ich habe ist, was genau soll der Abstand vom Punkt zum Rand sein? ist damit das Lot gemeint (d.h. jeweils der kürzeste Abstand)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Fr 03.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo! Das erste Problem, das ich habe ist, was genau soll
> der Abstand vom Punkt zum Rand sein? ist damit das Lot
> gemeint (d.h. jeweils der kürzeste Abstand)?
Genau das ist gemeint.
Fälle von dem Punkt mal die Lote zu den drei Seiten des Dreiecks.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Fr 03.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo! Das erste Problem, das ich habe ist, was genau soll
> der Abstand vom Punkt zum Rand sein? ist damit das Lot
> gemeint (d.h. jeweils der kürzeste Abstand)?
Nennen wir das Dreieck einfach [mm] \Delta. [/mm] Mit P [mm] \in \Delta^{o} [/mm] ist der kürzeste Abstand von P zum Rand von [mm] \Delta:
[/mm]
[mm] $min~~\{||X-P||: X \in \partial \Delta\}||$.
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Fr 03.06.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
deswegen meinte ich, daß Du mal rumprobieren sollst. Klarerweise hat der Inkreismittelpunkt den gleichen Abstand von den drei Seiten, also kann das nicht gefragt sein.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 So 05.06.2011 | | Autor: | pramar |
Ok wenn ich jetzt mal den Innkreismittelpunkt hernehme. Dieser hat ja wie du sagts, zu jeder Seite den gleichen Abstand. Das ist mir klar. Aber was wäre dann der größte Abstand von diesem Punkt zum Rand? Muss dass nicht der Abstand zu einer Ecke sein? Ansonsten ist mir das Problem total unklar. Mit dem Begriff Rand kann ich wenig anfangen? Ich brauch die Aufgabe bis Mittwoch.....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 So 05.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Ok wenn ich jetzt mal den Innkreismittelpunkt hernehme.
> Dieser hat ja wie du sagts, zu jeder Seite den gleichen
> Abstand. Das ist mir klar. Aber was wäre dann der größte
> Abstand von diesem Punkt zum Rand? Muss dass nicht der
> Abstand zu einer Ecke sein? Ansonsten ist mir das Problem
> total unklar. Mit dem Begriff Rand kann ich wenig anfangen?
> Ich brauch die Aufgabe bis Mittwoch.....
Nimm die Menge aller Punkte der Ebene, in der auch das Dreieck liegt.
Entferne von dieser Menge
- alle Punkte im Inneren des Dreiecks
- alle Punkte außerhalb des Dreiecks
Übrig bleibt der Rand des Dreiecks.
Kleinster Abstand eines Punktes zum Rand: das kürzeste der drei Lote.
Größter Abstand eines Punktes zum Rand: die längste der drei Strecken zu den Eckpunkten.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 So 05.06.2011 | | Autor: | pramar |
Ok danke Abakus, das war schon sehr hilfreich. mein nächster Schritt ist folgender: Ich zeichne mir die 3 Winkelhalbierenden ein und erzeuge mir so den Innkreismittelpunkt. Weil ja die Punkte auf der Winkelhalbierenden jeweils den gleichen Abstand zu den 2 Seiten haben. Dadurch erhalte ich 3 neue Dreiecke. Kann ich so den kürzesten Abstand "d" klassifizieren? d.h. ich sage wenn der Punkt im gewissen Dreieck liegt, dann ist der kürzeste Abstand das Lot auf die entsprechende Grundseite. lg Pramar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 So 05.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Ok danke Abakus, das war schon sehr hilfreich. mein
> nächster Schritt ist folgender: Ich zeichne mir die 3
> Winkelhalbierenden ein und erzeuge mir so den
> Innkreismittelpunkt. Weil ja die Punkte auf der
> Winkelhalbierenden jeweils den gleichen Abstand zu den 2
> Seiten haben. Dadurch erhalte ich 3 neue Dreiecke. Kann ich
> so den kürzesten Abstand "d" klassifizieren? d.h. ich sage
> wenn der Punkt im gewissen Dreieck liegt, dann ist der
> kürzeste Abstand das Lot auf die entsprechende Grundseite.
> lg Pramar
Hallo,
mache dir klar, dass jeder andere Punkt im Inneren des Dreiecks zu einer der Seiten einen kürzeren Abstand als den Inkreisradius besitzt.
Der Inkreisradius wird dir (später) zur Abschätzung im Rahmen einer Ungleichungskette dienen.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 So 05.06.2011 | | Autor: | pramar |
ja das ist mir eigentlich klar. Kann ich jetzt behaupten, dass der kleinste Abstand "d" eines Punktes vom Rand maximal der Innkreisradius sein kann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 So 05.06.2011 | | Autor: | abakus |
> ja das ist mir eigentlich klar. Kann ich jetzt behaupten,
> dass der kleinste Abstand "d" eines Punktes vom Rand
> maximal der Innkreisradius sein kann?
Das kannst du nicht einfach behaupten; das musst du beweisen.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 So 05.06.2011 | | Autor: | pramar |
ok aber ich habe keine Ahnung wie, kannst du mir da weiterhelfen? ich bräuchte einen weiteren Denkanstoss, denn mit dem großen Abstand "D" komme ich nicht weiter.....lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 So 05.06.2011 | | Autor: | abakus |
> ok aber ich habe keine Ahnung wie, kannst du mir da
> weiterhelfen? ich bräuchte einen weiteren Denkanstoss,
> denn mit dem großen Abstand "D" komme ich nicht
> weiter.....lg
Der Inkreismittelpunkt ist nicht nur der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden, sondern auch der Schnittpunkt von 3 Geraden, die parallel zur jeweiligen Dreiecksseite verlaufen und zu dieser den Abstand [mm] r_i [/mm] besitzen. Du musst zumindest begründen, dass du, wenn du dich vom Umkreismittelpunkt wegbewegst, gleichzeitig einer der Seiten näherkommst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 So 05.06.2011 | | Autor: | pramar |
kann es sein dass dich verschrieben hast? Wolltest statt Umkreismittelpunkt nicht Innkreismittelpunkt schreiben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 So 05.06.2011 | | Autor: | abakus |
> kann es sein dass dich verschrieben hast? Wolltest statt
> Umkreismittelpunkt nicht Innkreismittelpunkt schreiben?
Richtig (allerdings nur mit einem "n").
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:31 So 05.06.2011 | | Autor: | pramar |
alles klar ^^. Aber wie gesagt hänge ich jetzt wieder. Wie muss ich mit dem größten Abstand "D" verfahren? Habe versucht mir den Umkreismittelpunkt einzuzeichnen, kann daraus aber leider keine Folgerungen ziehen ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 13.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 20:31 Mo 06.06.2011 | | Autor: | pramar |
Hallo nochmal! Zu folgender Aufgabe habe ich mir überlegt: den kleinsten Abstand "d" kann ich durch den Innkreisradius nach oben beschränken. Dasselbe kann ich doch für den größten Abstand machen; ich beschränke diesen nach unten durch den Umkreismittelpunkt. Stimmt das? bzw. wie kann ich das argumentieren? d.h. mein kleinstes Verhältnis von D und d habe ich wenn Innkreismittelpunkt und Umkreismittelpunkt zusammenfallen. Wenn ich das über die Entfernungsformel mache: Entfernung vom Umkreismittelpunkt zum Inkreismittelpunkt ist ja Wurzel aus(R(R-2r)). Wenn sie zusammenfallen sollen dann muss diese Entfernung Null sein d.h. R=2r. Fallen sie aber nicht zusammen dann wird entweder R (sprich D) größer oder r (sprich d) kleiner und daraus folgt die Behauptung. Kann ich so argumtentieren oder ist das zu waage? lg pramar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 18:23 Di 07.06.2011 | | Autor: | pramar |
Hallo nochmal! Kann mir jemand bitte helfen?? Kann mir jemand sagen wie ich zeigen kann, dass der kleine Abstand d maximal der Innkreisradius sein kann und der große minimal der Umkreisradius sein kann? Wenn ich das gezeigt habe dann ist alles klar. Bitte um rasche Hilfe!!lg pra mar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Mi 15.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 11.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Innkreis![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
