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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Abst. windschiefer Geraden
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Abst. windschiefer Geraden: Lösung korrekt?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 Fr 03.10.2008
Autor: RuffY

Aufgabe
Berechne den Abst. folgender, gegebener windschiefer Geraden:

[mm] g1=\vektor{3 \\ -1 \\ 2}+t*\vektor{2 \\ 4 \\ 10} [/mm]

[mm] g2=\vektor{-1 \\ 5 \\ 23}+s*\vektor{-4 \\ 4 \\ 6} [/mm]
Hallo, im Zuge meiner Vorbereitung auf eine Klausur habe ich, da wir keine Formelsammlung nutzen dürfen, mal die Formel für den Abst. zweier windsch. Geraden hergeleitet und berechnet:

für [mm] d\approx [/mm] 30,76

Ist's so richtig?

Grüße aus HH

Sebastian
        
Bezug
Abst. windschiefer Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Fr 03.10.2008
Autor: Teufel

Hi!

Ist leider nicht richtig. Wie bist du denn vorgegangen?

[anon] Teufel
Bezug
                
Bezug
Abst. windschiefer Geraden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Fr 03.10.2008
Autor: RuffY

...schade :-(

Ich habe aus den Richtungsvektoren zuerst den Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] gebildet:

[mm] \vec{n}=\vektor{ -16 \\ -52 \\ 24} [/mm]

Der nächste Schritt war, dass ich den Verbindungsvektor der beiden Aufpunkte der Geraden gebildet habe:

[mm] \vec{AB}=\vektor{ 4 \\ -6 \\ -1} [/mm]

Aus dem Zusammenhang des Skalarproduktes:

[mm] \vec{a}*\vec{b}=\vec{b_{a}}*|\vec{a}| [/mm]

habe ich dann [mm] |\vec{b_{a}}|=d=\bruch{|\vec{a}|*|\vec{b}|}{|\vec{a}|} [/mm]

mein [mm] \vec{a}=\vec{AB} [/mm] und [mm] \vec{b}=\vec{n} [/mm]

Ich hoffe, dass meine Herleitung korrekt ist?



Bezug
                        
Bezug
Abst. windschiefer Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 Fr 03.10.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> ...schade :-(
>  
> Ich habe aus den Richtungsvektoren zuerst den
> Normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] gebildet:
>  
> [mm]\vec{n}=\vektor{ -16 \\ -52 \\ 24}[/mm]     [ok]
>  
> Der nächste Schritt war, dass ich den Verbindungsvektor der
> beiden Aufpunkte der Geraden gebildet habe:
>  
> [mm]\vec{AB}=\vektor{ 4 \\ -6 \\ -1}[/mm]       [notok]

Bezug
                        
Bezug
Abst. windschiefer Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Fr 03.10.2008
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Abend Sebastian,

ich habe diesen Text jetzt nochmals durchgesehen

>  
> Ich habe aus den Richtungsvektoren zuerst den
> Normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] gebildet:
>  
> [mm]\vec{n}=\vektor{ -16 \\ -52 \\ 24}[/mm]       [ok]
>  
> Der nächste Schritt war, dass ich den Verbindungsvektor der
> beiden Aufpunkte der Geraden gebildet habe:
>  
> [mm]\vec{AB}=\vektor{ 4 \\ -6 \\ -1}[/mm]           [ok]

        (ich habe zwar entgegengesetzte Vorzeichen, aber
         das macht nichts - du hast die Punkte andersrum
         bezeichnet  oder allenfalls A-B statt B-A gerechnet)
  
> Aus dem Zusammenhang des Skalarproduktes:
>  
> [mm]\vec{a}*\vec{b}=\vec{b_{a}}*|\vec{a}|[/mm]      [ok]
>  
> habe ich dann
> [mm]|\vec{b_{a}}|=d=\bruch{|\vec{a}|*|\vec{b}|}{|\vec{a}|}[/mm]

         So stimmt dies nicht.  Es muss heißen:

           [mm]|\vec{b_{a}}|=d=\bruch{|\vec{a}*\vec{b}|}{|\vec{a}|}[/mm]

         Mach dir klar, dass das keineswegs dasselbe ist !

>  
> mein [mm]\vec{a}=\vec{AB}[/mm] und [mm]\vec{b}=\vec{n}[/mm]

         Das müsstest du genau umgekehrt machen:
         Nicht [mm] \vec{n} [/mm] auf [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] projizieren,
         sondern [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] auf [mm] \vec{n} [/mm]


LG     [winken]




Bezug
        
Bezug
Abst. windschiefer Geraden: anderes Ergebnis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Fr 03.10.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Berechne den Abst. folgender, gegebener windschiefer
> Geraden:
>  
> [mm]g1=\vektor{3 \\ -1 \\ 2}+t*\vektor{2 \\ 4 \\ 10}[/mm]
>  
> [mm]g2=\vektor{-1 \\ 5 \\ 23}+s*\vektor{-4 \\ 4 \\ 6}[/mm]

  
> für [mm]d\approx[/mm] 30,76
>  
> Ist's so richtig?



hallo Sebastian,

ich erhalte etwas anderes:  [mm] d\approx [/mm]  4.305

Bezug
                
Bezug
Abst. windschiefer Geraden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Fr 03.10.2008
Autor: RuffY

ich glaube das Problem liegt in den vorgegebenen Geraden

[mm] g1=\vektor{3 \\ -1 \\ 2}+t\cdot{}\vektor{2 \\ 4 \\ 10} [/mm]

ist richtig! Aber...

[mm] g2=\vektor{-1 \\ 5 \\ 3}+s\cdot{}\vektor{-4 \\ 4 \\ 6} [/mm]

ist die z-Koordinate vom Aufpunkt der Geraden nicht 23 sondern 3...

Stimmt's nun?!
Bezug
                        
Bezug
Abst. windschiefer Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Fr 03.10.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> ich glaube das Problem liegt in den vorgegebenen Geraden
>  
> [mm]g1=\vektor{3 \\ -1 \\ 2}+t\cdot{}\vektor{2 \\ 4 \\ 10}[/mm]
>  
> ist richtig! Aber...
>  
> [mm]g2=\vektor{-1 \\ 5 \\ 3}+s\cdot{}\vektor{-4 \\ 4 \\ 6}[/mm]
>
> ist die z-Koordinate vom Aufpunkt der Geraden nicht 23
> sondern 3...

     Aha, das macht natürlich schon etwas aus...
  
> Stimmt's nun?!

    Mit den neuen Daten liefert mein Rechner:  d [mm] \approx [/mm] 3.767

    Dein ursprünglicher Wert d>30 kann sicher nicht stimmen,
    da schon der Abstand der Stützpunkte der beiden Geraden
    nur  7.28 Längeneinheiten misst. Der kürzeste Abstand der
    Geraden kann sicher nicht größer sein...

LG

Bezug
                                
Bezug
Abst. windschiefer Geraden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:32 Fr 03.10.2008
Autor: RuffY

mein Fehler war bei der Benennung der Vectoren, d.h. [mm] \vec{n}=\vec{a}... [/mm] so stimmts!
Bezug
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