Absolute Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Sa 20.04.2013 | | Autor: | BamPi |
| Aufgabe | a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{n}+1}{n^3}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{3*n^2+1}{n^3+2*n} [/mm] |
Hallo,
ich fange mal mit der b) an:
Ich habe hier mit dem Leibnizkriterium gezeigt das die Reihe konvergiert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1/n^3+3/n}{2/n^2+1}=0
[/mm]
Nun will ich zeigen das die Reihe nicht absolut konvergent ist. Also bin ich wie folgt vorgegangen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}|(-1)^n \bruch{3*n^2+1}{n^3+2*n}| [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3*n^2+1}{n^3+2*n}
[/mm]
Nun wollte ich das Minoranten-Kriterium anwenden:
[mm] \bruch{3*n^2+1}{n^3+2*n} [/mm] > [mm] \bruch{3*n^2}{n^3+2*n} [/mm] = [mm] \bruch{3*n}{n^2+2}
[/mm]
Und nun hänge ich leider. Ich weis leider nicht, welche divergente Reihe ich heranziehen könnte, die ich mit [mm] \bruch{3*n}{n^2+2} [/mm] vergleichen könnte.
Bei der a) wollte ich das Majorantenkriterium anwenden:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{n}+1}{n^3} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{5/2}}+\bruch{1}{n^3}
[/mm]
Nun frage ich mich, ob ich das Majorantenkriterium Summandenweise benutzen darf (bzw. die harmonische Reihe) ? Da es ja um eine Reihe geht dürfte das doch machbar sein ? Dann würden die beiden Summanden nämlich nach der harmonischen Reihe konvergieren.
Absolute Konvergenz folgt dann auch gleich, da hier nichts alterniert und sich alles im positiven abspielt.
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Hallo,
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{n}+1}{n^3}[/mm]
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{3*n^2+1}{n^3+2*n}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich fange mal mit der b) an:
>
> Ich habe hier mit dem Leibnizkriterium gezeigt das die
> Reihe konvergiert:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1/n^3+3/n}{2/n^2+1}=0[/mm]
>
> Nun will ich zeigen das die Reihe nicht absolut konvergent
> ist. Also bin ich wie folgt vorgegangen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|(-1)^n \bruch{3*n^2+1}{n^3+2*n}|[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3*n^2+1}{n^3+2*n}[/mm]
>
> Nun wollte ich das Minoranten-Kriterium anwenden:
>
> [mm]\bruch{3*n^2+1}{n^3+2*n}[/mm] > [mm]\bruch{3*n^2}{n^3+2*n}[/mm] =
> [mm]\bruch{3*n}{n^2+2}[/mm]
>
> Und nun hänge ich leider. Ich weis leider nicht, welche
> divergente Reihe ich heranziehen könnte, die ich mit
> [mm]\bruch{3*n}{n^2+2}[/mm] vergleichen könnte.
>
Du kannst hier noch weitermachen, indem du denn Nenner vergrößerst:
[mm] \bruch{3n}{n^2+2}>\bruch{3n}{n^2+n^2}=\bruch{3}{2n}
[/mm]
für n>2. Aber man darf wohl auch so argumentieren, dass die Reihe sich asymptotisch einer harmonischen Reihe annähert und somit divergent ist.
>
> Bei der a) wollte ich das Majorantenkriterium anwenden:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{n}+1}{n^3}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{5/2}}+\bruch{1}{n^3}[/mm]
>
> Nun frage ich mich, ob ich das Majorantenkriterium
> Summandenweise benutzen darf (bzw. die harmonische Reihe) ?
Nein, natürlich nicht. Das würde auf eine Umordnung herauslaufen, und das darf man ja nur bei absolut konvergenten Reihen tun.
Um eine Majorante zu finden, vergrößere hier den Zähler geeignet und verwende die Konvergenz der Reihe
[mm] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} [/mm]
für [mm] \alpha>1.
[/mm]
> Da es ja um eine Reihe geht dürfte das doch machbar sein ?
> Dann würden die beiden Summanden nämlich nach der
> harmonischen Reihe konvergieren.
Die harmonische Reihe divergiert!
> Absolute Konvergenz folgt dann auch gleich, da hier nichts
> alterniert und sich alles im positiven abspielt.
Ja, das ist richtig.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Sa 20.04.2013 | | Autor: | BamPi |
> > Bei der a) wollte ich das Majorantenkriterium anwenden:
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{n}+1}{n^3}[/mm] =
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{5/2}}+\bruch{1}{n^3}[/mm]
> >
> > Nun frage ich mich, ob ich das Majorantenkriterium
> > Summandenweise benutzen darf (bzw. die harmonische
> Reihe) ?
>
> Nein, natürlich nicht. Das würde auf eine Umordnung
> herauslaufen, und das darf man ja nur bei absolut
> konvergenten Reihen tun.
>
> Um eine Majorante zu finden, vergrößere hier den Zähler
> geeignet und verwende die Konvergenz der Reihe
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}[/mm]
>
> für [mm]\alpha>1.[/mm]
>
> > Da es ja um eine Reihe geht dürfte das doch machbar sein
> ?
> > Dann würden die beiden Summanden nämlich nach der
> > harmonischen Reihe konvergieren.
>
> Die harmonische Reihe divergiert!
>
> > Absolute Konvergenz folgt dann auch gleich, da hier nichts
> > alterniert und sich alles im positiven abspielt.
>
> Ja, das ist richtig.
>
>
> Gruß, Diophant
Die Reihe ist ja aber absolut konvergent, da
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{5/2}} [/mm] konvergiert und
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^3} [/mm] konvergiert muss doch auch
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{5/2}}+\bruch{1}{n^3} [/mm]
konvergieren ?!
Natürlich weis ich - mathematisch angenommen - noch nicht, dass die Reihe absolut konvergent ist, da ich noch nicht weis ob die Reihe überhaupt konvergent ist. Aber wenn die Beiden Partialsummen konvergieren, muss ja auch die Gesamtsumme konvergieren. Das es absolut konvergent ist, ist ja nur eine triviale Schlussfolgerung da sich das ganze im positiven abspielt und nicht alterniert.
Ich sehe gerade auch nichtt wie ich den Zähler hier geeignet vergrößern könnte um auf die harmonische Reihe mit [mm] \alpha [/mm] > 1 zu schließen ? Ich habe ja bereits schon zwei Partialsummen die nach der harmonischen Reihe mit [mm] \alpha [/mm] > 1 konvergieren.
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Hallo,
> Ich sehe gerade auch nichtt wie ich den Zähler hier
> geeignet vergrößern könnte um auf die harmonische Reihe
> mit [mm]\alpha[/mm] > 1 zu schließen ? Ich habe ja bereits schon
> zwei Partialsummen die nach der harmonischen Reihe mit
> [mm]\alpha[/mm] > 1 konvergieren.
[mm]\frac{\sqrt{n}+1}{n^3}\le \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n}}{n^3}= \frac{2}{n^{ \frac{5}{2}}}[/mm]
Gruß, Diophant
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Hallo,
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> Die Reihe ist ja aber absolut konvergent, da
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{5/2}}[/mm] konvergiert und
> [mm]%5Csumme_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbruch%7B1%7D%7Bn%5E3%7D[/mm] konvergiert muss doch
> auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{5/2}}+\bruch{1}{n^3}[/mm]
> konvergieren ?!
Ja, du kannst also neben der Abschätzung in der anderen Antwort auch die Ausgangsreihe als Summe zweier bekanntermaßen konvergenter Reihen schreiben
>
> Natürlich weis ich - mathematisch angenommen - noch nicht,
> dass die Reihe absolut konvergent ist, da ich noch nicht
> weis ob die Reihe überhaupt konvergent ist. Aber wenn die
> Beiden Partialsummen konvergieren, muss ja auch die
> Gesamtsumme konvergieren. Das es absolut konvergent ist,
> ist ja nur eine triviale Schlussfolgerung da sich das ganze
> im positiven abspielt und nicht alterniert.
Jo [mm] $|a_n|=a_n$ [/mm] ....
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Sa 20.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{n}+1}{n^3}[/mm]
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{3*n^2+1}{n^3+2*n}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich fange mal mit der b) an:
>
> Ich habe hier mit dem Leibnizkriterium gezeigt das die
> Reihe konvergiert:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1/n^3+3/n}{2/n^2+1}=0[/mm]
Hast Du auch gezeigt, dass die Folge [mm] (\bruch{3\cdot{}n^2+1}{n^3+2\cdot{}n}) [/mm] monoton ist ?
FRED
>
> Nun will ich zeigen das die Reihe nicht absolut konvergent
> ist. Also bin ich wie folgt vorgegangen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|(-1)^n \bruch{3*n^2+1}{n^3+2*n}|[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3*n^2+1}{n^3+2*n}[/mm]
>
> Nun wollte ich das Minoranten-Kriterium anwenden:
>
> [mm]\bruch{3*n^2+1}{n^3+2*n}[/mm] > [mm]\bruch{3*n^2}{n^3+2*n}[/mm] =
> [mm]\bruch{3*n}{n^2+2}[/mm]
>
> Und nun hänge ich leider. Ich weis leider nicht, welche
> divergente Reihe ich heranziehen könnte, die ich mit
> [mm]\bruch{3*n}{n^2+2}[/mm] vergleichen könnte.
>
>
> Bei der a) wollte ich das Majorantenkriterium anwenden:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{n}+1}{n^3}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{5/2}}+\bruch{1}{n^3}[/mm]
>
> Nun frage ich mich, ob ich das Majorantenkriterium
> Summandenweise benutzen darf (bzw. die harmonische Reihe) ?
> Da es ja um eine Reihe geht dürfte das doch machbar sein ?
> Dann würden die beiden Summanden nämlich nach der
> harmonischen Reihe konvergieren.
> Absolute Konvergenz folgt dann auch gleich, da hier nichts
> alterniert und sich alles im positiven abspielt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Sa 20.04.2013 | | Autor: | BamPi |
Danke, hätte ich jetzt glatt vergessen.
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