Abschnittsweise def. Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Mo 31.05.2004 | | Autor: | ShiSue |
Hallo, hab noch ne Frage! Hab keine Ahnug wie ich die Aufgabe rechne soll, doch es ist wirklich wichtig, da es bestimmt eine von dieser Art in der Prüfung gibt.
Funktion:
f(x)= -1/4( x³ -6x²) für x < 2
ax² + x + 4 -16a² für x > 2
Ermitteln Sie rechnerisch, für weches a die Funktion f an der Stelle x0= 2 differenzierbar ist.(a1/2= - 0, 49; a3= -0,24 hab ich vorher ausgerechnet- könnt ja noch mal überprüfen, man sollte a an der stelle x=2 berechnen)
Weiß 1. nicht welche der beiden Funktionen ich nehmen soll und dann komme ich mit der Rechnung(mit von links und rechts brechnen).
LG Susi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Mo 31.05.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo nochmal,
> Funktion:
>
> f(x)= -1/4( x³ -6x²) für x < 2
> ax² + x + 4 -16a² für x > 2
Da stimmt ja schon einmal was mit der Definition nicht: Wie sieht es denn für x=2 aus?
> Ermitteln Sie rechnerisch, für weches a die Funktion f an
> der Stelle x0= 2 differenzierbar ist.(a1/2= - 0, 49; a3=
> -0,24 hab ich vorher ausgerechnet- könnt ja noch mal
> überprüfen, man sollte a an der stelle x=2 berechnen)
Hast Du diese Werte mit dem Taschenrechner berechnet? Da haben sich nämlich einige Rundungsfehler eingeschlichen ... wenn Du die volle Punktzahl erreichen willst, würde ich Dir wirklich raten, solche quadratischen Gleichungen schriftlich auszurechnen, dann siehst Du nämlich dass die Lösungen [mm] $a_1=-\frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $a_2=\frac{1}{4}$ [/mm] lauten.
Zusatzfrage: Wieso erhälst Du drei Lösungen für $a$? Eine quadratische Gleichung kann maximal zwei Lösungen haben ...
> Weiß 1. nicht welche der beiden Funktionen ich nehmen soll
> und dann komme ich mit der Rechnung(mit von links und
> rechts brechnen).
So, was Du bist jetzt ausgenutzt hast (bewusst oder unterbewusst) ist folgendes: jede differenzierbare Funktion ist stetig, wenn die Funktion bei $x=2$ diffbar sein soll, muss sie dort auch stetig sein, d.h. beide Definitionen (die für $x<2$ und die für $x>2$) müssen für $x=2$ das identische Ergebnis liefern.
Damit die Funktion aber auch diffbar ist, muss der linksseitige (also der aus der Funktion für $x<2$ resultierende) und der rechtsseitige (der aus der Funktion für $x>2$ resultierende) Grenzwert des Differenzenquotienten übereinstimmen ... um es für dieses Beispiel einfacher zu sagen: nicht nur die Funktionswerte, sondern auch die Ableitungen der beiden Teilfunktionen müssen für $x=2$ übereinstimmen.
Wenn Du also die Ableitung der ersten Teilfunktion (für $x<2$) an der Stelle $x=2$ berechnest, solltest Du den Wert $3$ erhalten. Wenn Du dann noch die Ableitung der zweiten Teilfunktion (für $x>2$, denk dran: $a$ ist eine Konstante) bestimmst und berechnest, für welches $a$ diese Ableitung bei $x=2$ ebenfalls den Wert $3$ annimmt, müsstest Du $a$ eindeutig bestimmen können.
Wenn Du Dir die Graphen der beiden Funktionen einmal anschaust, wird glaube ich deutlich, was wir gemacht haben: die beiden Graphen schneiden sich in $x=2$ nicht nur, sondern sie "schmiegen" sich regelrecht an. Genau aus diesem Grund ist die zusammengesetzte Funktion weiterhin differenzierbar.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mach's gut
Oliver
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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