Abschnitt 1.2, Satz 1 < Algebra-Kurs 2006 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Fr 08.09.2006 | | Autor: | phrygian |
Hallo allerseits,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich den Beweis zur Gleichmächtigkeit der Linksnebenklassen richtig verstanden habe.
In der Fußnote 2 (S.16) schreibt Bosch: "Zwei Mengen $X,Y$ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung [mm] $X\to [/mm] Y$ gibt."
Ich habe deshalb erwartet, daß er im Beweis eine bijektive Abbildung [mm] $aH\to [/mm] bH$ definiert [mm] ($a,b\in [/mm] G$). Er benutzt aber eine bijektive Abbildung [mm] $H\to [/mm] aH$. So wie ich es verstehe, zeigt er damit, daß $H$ und $aH$ gleichmächtig sind. Da [mm] $a\in [/mm] G$ beliebig gewählt worden ist, gilt dies für jede Linksnebenklasse. Mit der Transitivität der Gleichmächtigkeit folgt, daß je zwei Linksnebenklassen untereinander gleichmächtig sind (denn sie haben gleich viele Elemente wie $H$).
Stimmt's?
Gruß, phrygian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Fr 08.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo phrygian!
> ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich den Beweis zur
> Gleichmächtigkeit der Linksnebenklassen richtig verstanden
> habe.
> In der Fußnote 2 (S.16) schreibt Bosch: "Zwei Mengen [mm]X,Y[/mm]
> heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung [mm]X\to Y[/mm]
> gibt."
> Ich habe deshalb erwartet, daß er im Beweis eine bijektive
> Abbildung [mm]aH\to bH[/mm] definiert ([mm]a,b\in G[/mm]). Er benutzt aber
> eine bijektive Abbildung [mm]H\to aH[/mm]. So wie ich es verstehe,
> zeigt er damit, daß [mm]H[/mm] und [mm]aH[/mm] gleichmächtig sind. Da [mm]a\in G[/mm]
> beliebig gewählt worden ist, gilt dies für jede
> Linksnebenklasse. Mit der Transitivität der
> Gleichmächtigkeit folgt, daß je zwei Linksnebenklassen
> untereinander gleichmächtig sind (denn sie haben gleich
> viele Elemente wie [mm]H[/mm]).
> Stimmt's?
Ohne mir das im Buch angeschaut zu haben: Ja.
(Die Transitivitaet der Gleichmaechtigkeit folgt uebrigens daraus, dass die Verkettung von bijektiven Funktionen wieder bijektiv ist.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Fr 08.09.2006 | | Autor: | phrygian |
Hi Felix!
Danke für die Antwort!
Gruß, phrygian
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