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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich komm irgendwie nicht mit dieser Aufgabe klar. Ich hoffe, es kann mir einer ein paar kleine Tipps geben, wie ich an diesen Beweis rangehen soll.
Zunächst erstmal die Aufgabenstellung:
Wir versehen [mm] \IR^{n} [/mm] mit der euklid. Metrik [mm] d_{2}. [/mm] Z.Z.: Die abgeschlossene Einheitskugel [mm] K_{1}(0) [/mm] = { x [mm] \in \IR^{n} [/mm] | [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} \le [/mm] 1} ist der Abschluss der offenen Einheitskugel [mm] U_{1}(0)={x \in \IR^{n}|\parallel x \parallel_{2} \le 1}, [/mm] und die Einheitssphäre [mm] S^{n-1} [/mm] = { x [mm] \in \IR^{n} [/mm] | [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} [/mm] = 1} ist der Rand von [mm] U_{1}(0) [/mm] bzw. [mm] K_{1}(0).
[/mm]
Meine Fragen: Ist die euklid. Metrik die Metrik, die von der euklid. Norm induziert wird?
Ich weiß, dass eine Menge U [mm] \subseteq [/mm] M abgeschlossen heißt, wenn M \ U offen ist. Ist t ( Topologie) von d induziert, dann heißt es doch dass [mm] \forall [/mm] x [mm] \in M\U \exists \varepsilon [/mm] > 0 : [mm] U_{ \varepsilon}^{d} [/mm] (x) [mm] \cap [/mm] U = [mm] \emptyset [/mm] bzw. ist x ein Berührpunkt von U [mm] \subseteq [/mm] M, wenn gilt [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 : [mm] U_{ \varepsilon}^{d} [/mm] (x) [mm] \cap [/mm] U [mm] \not= \emptyset.
[/mm]
Da ja der Abschluss gesucht ist, muss ich ja zeigen, dass mind ein Berührpunkt existiert oder?
Und der Rand ist doch die Menge aller Randpunkte von U, also alle Punkte, die zwar Berührpunkte sind aber kein innerer Punkt.
Ich weiß zwar die Definitionen, weiß aber nicht, wie ich den Beweis machen soll. Ich hoffe deshalb auf ein paar kleine Tipps.
Danke Moe 007
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Hallo!
Zunächst mal: [mm] $U_1(0):=\{x\in\IR^n:\ \|x\|_2<1\}$.
[/mm]
In der Tat bezeichnet man normalerweise [mm] $d(x,y):=\|x-y\|_2$ [/mm] als euklidische Metrik.
Den Weg über die Topologie würde ich eigentlich vermeiden, warum es sich unnötig schwer machen, wenn sie ohnehin metrisierbar ist. Aber so aufschreiben kann man es natürlich schon.
Zeige zunächst, dass [mm] $K_1(0)$ [/mm] abgeschlossen und dass [mm] $U_1(0)$ [/mm] offen ist. Dann ist zwangsläufig auch [mm] $S^{n-1}$ [/mm] abgeschlossen.
Dann musst du zeigen, dass [mm] $K_1(0)$ [/mm] die kleinste abgeschlossene Menge ist, die [mm] $U_1(0)$ [/mm] enthält.
Dazu gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder geht du über Folgen in [mm] $U_1(0)$, [/mm] die gegen den Rand konvergieren, oder du zeigst, dass das Entfernen einer offenen Menge nicht möglich ist, ohne auch einen Teil von [mm] $U_1(0)$ [/mm] wegzunehmen. Das bedeutet: Kein Punkt in [mm] $K_1(0)\setminus U_1(0)$ [/mm] hat eine offene, nichtleere Umgebung in [mm] $K_1(0)\setminus U_1(0)$.
[/mm]
Dass [mm] $S^{n-1}$ [/mm] der Rand von [mm] $U_1(0)$ [/mm] ist, folgt dann aus [mm] $U_1(0)^\circ=U_1(0)$ [/mm] und [mm] $\overline{U_1(0)}=K_1(0)$.
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Di 19.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
hallo,
danke erstmal für deine antwort. Ich hab versucht, mit deiner Hilfe den Beweis zu machen Aber ich hab nicht alles verstanden und hab deshalb auch nicht alles beweisen können.
Aber erstmal mein Versuch:
Zunächst hab ich so wie du es gesagt hast, versucht, zu zeigen, dass [mm] K_{1}(0) [/mm] abgeschlossen ist.
Beweis: [mm] K_{1}(0) [/mm] ist abgschlossen , wenn [mm] \IR^{n} [/mm] \ [mm] K_{1}(0) [/mm] offen ist, also [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^{n} [/mm] \ [mm] K_{1}(0) \exists \varepsilon [/mm] > 0 [mm] U_{ \varepsilon}^{d_{2}}(x) \cap K_{1}(0) [/mm] = {}
[mm] \IR^{n} [/mm] \ [mm] K_{1}(0) [/mm] = { x [mm] \in \IR^{n} [/mm] | [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} [/mm] > 1} stimmt diese Definition? Ich hab sie aus der Angabe abgeleitet.
Sei x [mm] \in \IR^{n} [/mm] \ [mm] K_{1}(0) [/mm] , d.h d(x,0) = [mm] \parallel [/mm] x-0 [mm] \parallel_{2} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} [/mm] > [mm] \varepsilon [/mm] : = 1
Dann gilt für alle y [mm] \in U_{\delta}^{d_{2}}(x):
[/mm]
d(y,0) = [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel_{2} [/mm] > [mm] \varepsilon [/mm] = 1
Daraus folgt : [mm] \forall [/mm] y [mm] \in \IR^{n} [/mm] \ [mm] K_{1}(0) \exists \varepsilon [/mm] > 0 [mm] U_{\varepsilon}^{d_{2}}(y) \cap K_{1}(0) [/mm] = {}
[mm] \Rightarrow K_{1}(0) [/mm] ist abgeschlossen
Stimmt das so? Ich bitte um Verbesserung, wenn es falsch ist.
Dann hab ich gezeigt, dass [mm] U_{1}(0) [/mm] = { x [mm] \in \IR^{n} [/mm] | [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} [/mm] < 1} offen ist
Beweis. Sei x [mm] \in U_{1}(0), [/mm] d.h. d(x,0) = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} [/mm] < 1 = [mm] \varepsilon [/mm]
Setze [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] - d(x,0) = 1- [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} [/mm] > 0
dann gilt [mm] \forall \in U_{\delta}^{d_{2}}(x):
[/mm]
d(y,0) [mm] \le [/mm] d(y,x) + d(x,0) < [mm] \delta [/mm] + ( [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta) [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Also ist [mm] U_{\delta}^{d_{2}}(x) \subseteq U_{ \varepsilon=1}(0)
[/mm]
Also ist [mm] U_{1}(0) [/mm] offen.
Ist das so richtig? Ich habs echt versucht.
Warum kann denn jetzt zwangsläufig schließen, dass [mm] S^{n-1} [/mm] auch abgeschlossen ist??
Und wie zeig ich jetzt, dass die abgeschlossene Einheitskugel der Abschluss von der offenen ist?
Ich hab auch immer noch nicht verstanden, wie man zeigt, dass die Einheitsspäre der rand von [mm] U_{1}(0) [/mm] ist.
Kannst du es mir vielleicht auch nochmal erklären, wie man das beweist?
Danke für die Hilfe.
Moe007
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Hallo!
> Zunächst hab ich so wie du es gesagt hast, versucht, zu
> zeigen, dass [mm]K_{1}(0)[/mm] abgeschlossen ist.
> Beweis: [mm]K_{1}(0)[/mm] ist abgschlossen , wenn [mm]\IR^{n}[/mm] \
> [mm]K_{1}(0)[/mm] offen ist, also [mm]\forall\ x\in \IR^{n}[/mm] \ [mm]K_{1}(0)\exists \varepsilon[/mm] > 0 [mm]U_{ \varepsilon}^{d_{2}}(x) \cap K_{1}(0)[/mm] = {}
> [mm]\IR^{n}[/mm] \ [mm]K_{1}(0) = \{ x\in \IR^{n}:\ \| x
> \parallel_{2} > 1\}[/mm] stimmt diese Definition? Ich hab sie aus
> der Angabe abgeleitet.
Ja, da stimmt alles!
> Sei [mm]x \in \IR^{n}[/mm] \ [mm]K_{1}(0)[/mm] , d.h d(x,0) = [mm]\parallel[/mm] x-0
> [mm]\parallel_{2}[/mm] = [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{2}[/mm] > [mm]\varepsilon[/mm] : =
> 1
> Dann gilt für alle y [mm]\in U_{\delta}^{d_{2}}(x):[/mm]
> d(y,0) =
> [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel_{2}[/mm] > [mm]\varepsilon[/mm] = 1
> Daraus folgt : [mm]\forall[/mm] y [mm]\in \IR^{n}[/mm] \ [mm]K_{1}(0) \exists \varepsilon[/mm]
> > 0 [mm]U_{\varepsilon}^{d_{2}}(y) \cap K_{1}(0)[/mm] = {}
> [mm]\Rightarrow K_{1}(0)[/mm] ist abgeschlossen
>
> Stimmt das so? Ich bitte um Verbesserung, wenn es falsch
> ist.
Da ist ein bisschen der Wurm drin. Also: Du hast ein [mm] $x\in \IR^n\setminus K_1(0)$. [/mm] Offensichtlich ist [mm] $\|x\|>1$. [/mm] Setze [mm] $\delta:=\bruch{\|x\|-1}{2}$.
[/mm]
Jetzt schaust du dir die Kugel um $x$ mit Radius [mm] $\delta$ [/mm] an. Und da für jedes [mm] $y\in U_\delta(x)$ [/mm] gilt, dass [mm] $\|y\|\ge \|x\|-\bruch{1}{2}(\|x\|-1)\ge \bruch{\|x\|}{2}+\bruch{1}{2}>1$ [/mm] ist $y$ nicht in [mm] $K_1(0)$.
[/mm]
> Dann hab ich gezeigt, dass [mm]U_{1}(0) = \{ x\in \IR^{n}[/mm] |
> [mm]\parallel x\parallel_{2} < 1\}[/mm] offen ist
> Beweis. Sei x [mm]\in U_{1}(0),[/mm] d.h. d(x,0) = [mm]\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel_{2}[/mm] < 1 = [mm]\varepsilon[/mm]
> Setze [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] - d(x,0) = 1- [mm]\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel_{2}[/mm] > 0
> dann gilt [mm]\forall \in U_{\delta}^{d_{2}}(x):[/mm]
> d(y,0) [mm]\le[/mm]
> d(y,x) + d(x,0) < [mm]\delta[/mm] + ( [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta)[/mm] =
> [mm]\varepsilon[/mm]
> Also ist [mm]U_{\delta}^{d_{2}}(x) \subseteq U_{ \varepsilon=1}(0)[/mm]
>
> Also ist [mm]U_{1}(0)[/mm] offen.
>
> Ist das so richtig? Ich habs echt versucht.
Du bist auch schon auf dem richtigen Wege!
Hier müsstest du es nochmal genauso machen wie oben.
> Warum kann denn jetzt zwangsläufig schließen, dass [mm]S^{n-1}[/mm]
> auch abgeschlossen ist??
[mm] $K_1$ [/mm] ist abgeschlossen, weil [mm] $\IR^{n}\setminus K_1$ [/mm] offen ist. Auch [mm] $U_1$ [/mm] ist offen, also auch [mm] $(\IR^{n}\setminus K_1)\cup U_1$. [/mm] Und damit ist [mm] $S^{n-1}=\IR^{n}\setminus\big((\IR^{n}\setminus K_1)\cup U_1\big)$ [/mm] abgeschlossen.
> Und wie zeig ich jetzt, dass die abgeschlossene
> Einheitskugel der Abschluss von der offenen ist?
Zunächst hast du ja schon gezeigt, dass [mm] $K_1$ [/mm] abgeschlossen ist. Also ist [mm] $\overline{U_1}\subseteq K_1$. [/mm] Jetzt nimmst du Folgen aus [mm] $U_1$, [/mm] die gegen den Rand konvegieren. Beispiel:
[mm] $x_n:=\vektor{1-\bruch{1}{n}\\0\\\vdots\\0}$.
[/mm]
Diese Folge konvergiert gegen [mm] $\vektor{1\\0\\ \vdots\\0}$. [/mm] Dieser Vektor liegt nicht in [mm] $U_1$, [/mm] muss aber im Abschluss von [mm] $U_1$ [/mm] liegen, weil die [mm] $x_n$ [/mm] ja drin liegen. Aber er ist in [mm] $K_1$! [/mm] Und so machst du's jetzt für jeden Punkt auf dem Rand.
> Ich hab auch immer noch nicht verstanden, wie man zeigt,
> dass die Einheitsspäre der rand von [mm]U_{1}(0)[/mm] ist.
Das folgt dann aus dem ganzen vorherigen Kram, weil der Rand einer Menge immer ihr Abschluss ohne den offenen Kern ist, in diesem Fall also [mm] $K_1\setminus U_1=S^{n+1}$.
[/mm]
Ist es jetzt ein bisschen klarer geworden?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
hallo,
vielen Dank für deine Hilfe, ich versteh jetzt auch mehr als davor. ich hab bloß nur noch ein paar Fragen, weil mir noch was unklar ist.
Und zwar, was meinst du genau damit, dass ich es für jeden Punkt auf dem Rand machen soll? Soll ich wieder ein [mm] x_{n} [/mm] definieren, und dann zeigen, dass es gegen 1 konvergiert? Aber ich kenn doch die Punkte auf dem Rand doch gar nicht.
Und dann hab ich noch eine Frage. Ist es immer so, dass wenn eine Menge abgeschlossen ist, der Abschluss von einer Teilmenge davon darin liegt? Also [mm] \overline{U}_{1} \subseteq K_{1}.
[/mm]
Kann man den Beweis, dass [mm] U_{1} [/mm] offen ist, nicht so machen, wie ich es gemacht hab? Weil in der Vorlesung haben wir es zu einer andern Aufgabe so ähnlich gemacht. Oder ist es falsch so?
Danke für deine Antwort.
Moe
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Hallo!
> Und zwar, was meinst du genau damit, dass ich es für jeden
> Punkt auf dem Rand machen soll? Soll ich wieder ein [mm]x_{n}[/mm]
> definieren, und dann zeigen, dass es gegen 1 konvergiert?
Die Folge soll nicht direkt gegen 1 konvergieren, nur ihre Norm. Du nimmst irgendeinen Punkt [mm] $x_0$aus $K_1(0)$. [/mm] Jetzt wähle eine Folge [mm] $\alpha_n\in [/mm] (0;1)$ mit [mm] $\alpha_n\to [/mm] 1$ und setze [mm] $x_n:=\alpha_n x_0$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $\|x_n\|=\underbrace{|\alpha_n|}_{<1}\underbrace{\|x_0\|}_{\le 1}<1$.
[/mm]
Also liegen alle [mm] $x_n$ [/mm] in [mm] $U_1(0)$. [/mm] Da [mm] $x_n\to x_0$, [/mm] liegt [mm] $x_0$ [/mm] im Abschluss von [mm] $U_1(0)$.
[/mm]
Da du [mm] $x_0$ [/mm] beliebig in [mm] $K_1(0)$ [/mm] gewählt hast und [mm] $K_1(0)$ [/mm] abgeschlossen ist, ist [mm] $K_1(0)=\overline{U_1(0)}$.
[/mm]
> Ist es immer so, dass
> wenn eine Menge abgeschlossen ist, der Abschluss von einer
> Teilmenge davon darin liegt? Also [mm]\overline{U}_{1} \subseteq K_{1}.[/mm]
Ja, das ist immer so, weil: [mm] $U\subset [/mm] A,\ [mm] \overline A=A\quad \Rightarrow \quad\overline U\subset\overline [/mm] A=A$.
> Kann man den Beweis, dass [mm]U_{1}[/mm] offen ist, nicht so machen,
> wie ich es gemacht hab? Weil in der Vorlesung haben wir es
> zu einer andern Aufgabe so ähnlich gemacht. Oder ist es
> falsch so?
Der Beweis, dass [mm] $U_1(0)$ [/mm] offen ist, ist schon richtig, ich hab mich beim ersten Ansehen nur ein bisschen vom [mm] $\varepsilon$ [/mm] verwirren lassen, das ja eigentlich überflüssig ist, da du ihm einen festen Wert zuweist.
Der Beweis, dass [mm] $K_1(0)$ [/mm] abgeschlossen ist, ist vom Ansatz her auch richtig, du müsstest nur noch ein geeignetes [mm] $\delta$ [/mm] definieren.
Gruß, banachella
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