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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 So 05.12.2010 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Es seien x,y,,z [mm] \in [/mm] Q dann gilt:
a) [mm] \bruch{x}{y} [/mm] + [mm] \bruch{y}{x}\ge [/mm] 2
b) 2xy [mm] \le \bruch{(x+y)^2}{2} \le x^2+y^2
[/mm]
c) xy+xz+yz [mm] \le x^2+y^2+z^2 [/mm] |
Ich bin mir sicher dass diese Aufgaben nicht so schwer sind. doch leider weiß ich gar nicht wie ich anfangen soll. ich habe mir überlegt, ob das etwas mir der Cauchy Schwarz ungleichung zu tun hat...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 So 05.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo sissenge!
Multipliziere die gesamte Ungleichung mit 2 und bringe anschließend alles auf die rechte Seite.
Damit kannst Du dann diese Summe in 3 binomische Formeln zusammenfassen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sissenge |
jetzt habe ich ja dann dastehen:
[mm] (x-y)^2 +(x-z)^2 [/mm] + [mm] (y-z)^2 \ge [/mm] 0
hier müsste ich doch eine Fallunterscheidung machen??
Denn nur bei a) steht dabei für [mm] x,y,\ge [/mm] 0
Ach Blödsinn!! Ich multipliziere ja gar nicht!!!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> jetzt habe ich ja dann dastehen:
>
> [mm](x-y)^2 +(x-z)^2[/mm] + [mm](y-z)^2 \ge[/mm] 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 So 05.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Zerlege hier in 2 Teilungleichungen mit:
[mm]2xy \ \le \bruch{(x+y)^2}{2}[/mm] und [mm]\bruch{(x+y)^2}{2} \ \le \ x^2+y^2[/mm]
Beide Ungleichungen lassen sich durch Äquivalenzumfmrungen in offensichtlich wahre Aussagen überführen.
Multipliziere zunächst die Ungleichung mit 2 und löse multipliziere anschließend die Klammer aus.
Dann alles auf eine Seite bringen und wieder binomische Formel anwenden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sissenge |
ok... dann habe ich für i) 0 [mm] \le x^2 [/mm] +3xy [mm] +y^2 [/mm] und dann??
und bei ii) habe ich ja dann im Prinzip nach Umformungen die gleiche Gleichung wie a) also 2xy [mm] \le x^2 +y^2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> ok... dann habe ich für i) 0 [mm]\le x^2[/mm] +3xy [mm]+y^2[/mm] und dann??
Huch, wo kommt denn da die 3 her?
> und bei ii) habe ich ja dann im Prinzip nach Umformungen
> die gleiche Gleichung wie a) also 2xy [mm]\le x^2 +y^2[/mm]
Richtig. Also auch hier dieselben Schritte durchführen ... fertig.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:16 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sissenge |
ja habe ich auch vor ein paar Minuten gemerkt... dass ich mich verrechnet habe aber zu dieser späten Stunde kann das vorkommen :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mo 06.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du denn da drauf?
> ok... dann habe ich für i) 0 [mm]\le x^2[/mm] +3xy [mm]+y^2[/mm] und dann??
daist ne 3 falsch und das Vorzeichen
wenn du in 2xy [mm] $\le x^2 +y^2$ [/mm]
die 2xy "nach rechts bringst" heisst das doch auf beiden seiten 2xy abziehen.
und dann erinner dich an die 2.te bin .Forrmel.
> und bei ii) habe ich ja dann im Prinzip nach Umformungen
> die gleiche Gleichung wie a) also 2xy [mm]\le x^2 +y^2[/mm]
wenn du i hast bist du dann mit einem Teil fertig, ja.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sissenge |
so dann habe ich ja für i)
[mm] xy\le x^2 +2xy+y^2
[/mm]
[mm] 0\le x^2 +xy+y^2
[/mm]
sorry aber was ist da meine bin. Formel???
Korrektur!!!!
[mm] 0\le (x-y)^2[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Mo 06.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
keine Ahnung , was du da rechnest. der letzte Satz ist richtig, und ein Quadrat ist [mm] immer\ge0
[/mm]
Ich denk du solltest schlafen gehen oder ne Schneeballschlacht machen. wenn man so unkozentriert arbeitet, verdirbt man mehr als man gewinnt.
gute nacht leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 So 05.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo sissenge!
Gibt es hier genauere Angaben / weitere Einschränkungen zu $x_$ und $y_$ ?
Auf jeden Fall kannst Du die Ungleichung mit $x*y_$ multiplizieren und dann zusammenfassen.
Jedoch musst Du eine Fallunterscheidung für $x*y \ > \ 0$ und $x*y \ < \ 0$ vornehmen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sissenge |
tschuldigung habe ich vergessen. x und y sind größer 0
ja dashabe ich auch shcon gemacht. Dann steht da:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \ge [/mm] 2xy
reicht das als lösung. ist ja nun eigentlich logisch dass links größer als rechts ist... aber muss ich nicht noch etwas dazu schreiben???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo sissenge!
> tschuldigung habe ich vergessen. x und y sind größer 0
Na, das dachte ich mir fast.
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 \ge[/mm] 2xy
Bringe nun alles nach links und binomische Formel. Dann bist Du fertig.
So ist es nicht offensichtlich.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sissenge |
ahhh. also :
[mm] (x-y)^2\ge [/mm] 0
und da ^2 immer positiv ist stimmt das???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo sissenge!
> [mm](x-y)^2\ge[/mm] 0
> und da ^2 immer positiv ist stimmt das???
"positiv, höchstens Null" ... richtig.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien x,y,,z [mm]\in[/mm] Q dann gilt:
> a) [mm]\bruch{x}{y}[/mm] + [mm]\bruch{y}{x}\ge[/mm] 2
wie Loddar schon sagte sollte es da Einschränkungen an [mm] $x,y\,$ [/mm] geben - denn für [mm] $x:=1=:-y\,$ [/mm] ist die Aussage offenbar falsch ($1/(-1)+(1/(-1/1))=-2 [mm] \not\ge [/mm] 2$). Oder fehlen da evtl. Betragszeichen?
Wie dem auch sei:
Neben Loddars Vorschlag liegt es hier zunächst auch nahe, [mm] $t:=x/y\,$ [/mm] zu substituieren (wir schauen uns im folgenden also eine entsprechende Ungleichung für sogar (fast alle) $t [mm] \in \IR$ [/mm] an!). Dann ist die Ungleichung gleichbedeutend mit
$$t+(1/t) [mm] \ge 2\,,$$
[/mm]
wobei $t [mm] \not=0$ [/mm] sein sollte (in der Ausgangsungleichung müßte man eh aber sinnigerweise neben $x [mm] \not=0$ [/mm] - was gleichbedeutend mit $t [mm] \not=0$ [/mm] ist - sogar $y [mm] \not=0$ [/mm] fordern).
Auch dies ist noch keine schöne Ungleichung. Daher machen wir eine Fallunterscheidung (beachte, dass sicher $t [mm] \not=0$ [/mm] vorausgesetzt werden muss!):
1. Fall:
$$t > [mm] 0:\,$$
[/mm]
Dann gilt
$$t+(1/t) [mm] \ge [/mm] 2$$
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$t^2-2t+1 \ge 0\,.$$
[/mm]
2. Fall:
$$t < [mm] 0:\,$$
[/mm]
Dann gilt
$$t+(1/t) [mm] \ge [/mm] 2$$
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$t^2-2t+1 \le 0\,.$$
[/mm]
Wenn Du Dir nun unklar bist, was dasbedeutet:
Dann denkst Du vielleicht nochmal drüber nach, dass Quadratzahlen stets [mm] $\ge [/mm] 0$ sind (oben steht eine binomische Formel: Welche?) - oder aber Du betrachtest mal (den Graphen der bzw.) die Funktion [mm] $y(t):=(t-1)^2\,.$ [/mm] Versuche mal, herauszufinden, was diese Funktion bzw. der Graph dieser Funktion mit den obigen Ungleichungen (1. Fall und 2. Fall) zu tun hat, das heißt:
Im ersten Fall: Prüfe, ob die Funktion (genauer: der Graph dieser Funktion) für $t > [mm] 0\,$ [/mm] oberhalb der x-Achse verläuft
und
im zweiten Fall, ob die Funktion für $t < [mm] 0\,$ [/mm] unter der x-Achse verläuft.
Besten Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:31 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sissenge |
VIELEN VIELEN DANK!!!
War zwar nicht so schwer, aber ich habe viel zu kompliziert gedacht.
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