Abschätzung tanh < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Sa 27.08.2011 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
wie kann ich am einfachsten zeigen, dass
[mm] tanh(x)\le [/mm] x für alle [mm] x\ge [/mm] 0 gilt?
VG
Fry
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Sa 27.08.2011 | | Autor: | abakus |
>
> Hallo zusammen,
>
> wie kann ich am einfachsten zeigen, dass
> [mm]tanh(x)\le[/mm] x für alle [mm]x\ge[/mm] 0 gilt?
Variante 1: Taylorreihe aufstellen
Variante 2:
- Es gilt f(0)=0
- es gilt f'(0)=1
- zeigen, dass f'(x)<1, falls x>0
Gruß Abakus
>
> VG
> Fry
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Sa 27.08.2011 | | Autor: | Fry |
Hey Abakus,
vielen Dank für deine schnelle Antwort!
zu Variante 1: Hab ich auch überlegt: Aber wie kann ich zeigen,dass die Summe der Terme bis auf x negativ ist? Ist mir aus der Reihenentwicklung mit den Bernoullischen Zahlen nicht ersichtlich.
Bzw wieso kann man überhaupt die Abschätzung aus der Taylorentw. schlußfolgern? Schließlich gilt sie ja nur in einem beschränkten Konvergenzbereich.
zu Variante 2:
[mm] f`(x)=1-tanh^2(x)<1, [/mm] da [mm] 0
VG
Fry
|
|
|
| |
|
Hallo Fry,
> zu Variante 1: Hab ich auch überlegt: Aber wie kann ich
> zeigen,dass die Summe der Terme bis auf x negativ ist? Ist
> mir aus der Reihenentwicklung mit den Bernoullischen Zahlen
> nicht ersichtlich.
>
> Bzw wieso kann man überhaupt die Abschätzung aus der
> Taylorentw. schlußfolgern? Schließlich gilt sie ja nur in
> einem beschränkten Konvergenzbereich.
ich denke, dass der in diesem Fall nicht beschränkt ist ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
(siehe Frys Angabe in seiner Mitteilung)
> zu Variante 2:
> [mm]f'(x)=1-tanh^2(x)<1,[/mm] da [mm]0
>
> VG
> Fry
Benütze doch die Darstellung [mm] $\frac{d}{dx}\,tanh(x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{(cosh(x))^2}$ [/mm] und die
Eigenschaften von cosh !
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Sa 27.08.2011 | | Autor: | Fry |
Der Konvergenzradius der Reihe ist [mm] \pi/2.
[/mm]
Danke!
|
|
|
|
