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Abschätzung mit Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:40 Mi 23.05.2012
Autor: Lykanthrop

Aufgabe
Zeigen Sie:
[mm] \vektor{2n \\ n} [/mm] * [mm] \frac{1}{2^{2n}}\leq\frac{1}{\sqrt{2n+1}} [/mm] (hier ist der Binomialkoeffizient gemeint)


Guten Abend, liebe Mathematiker. Ich soll obiges Resultat beweisen, ein Tipp war, es mit Induktion zu versuchen.
Ich bilde also (nach meinem Induktionsanfang) die Induktionsvoraussetzung [mm] $\frac{(2n-2)!}{((n-1)!)^2*2^{2n-2}}\leq\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$ [/mm] und rechne dann herum:
[mm] $\frac{(2n)!}{(n!)^{2}*2^{2n}}=\frac{(2n-2)! 2n (2n-1)}{(n-1)!*n*n*2^{2n-2}*2*2}\leq\frac{1}{\sqrt{2n-1}}\cdot\frac{2n (2n-1)}{n^2*2*2}$, [/mm] komme so aber an kein Ziel..
Hat irgendjemand zu dieser späten Stunde noch einen Tipp für mich?
Lg Lykanthrop



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Abschätzung mit Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:16 Do 24.05.2012
Autor: reverend

Hallo Lykanthrop, [willkommenmr]

damit bist Du doch schon fast am Ziel.

> Zeigen Sie:
>  [mm]\vektor{2n \\ n}[/mm] *
> [mm]\frac{1}{2^{2n}}\leq\frac{1}{\sqrt{2n+1}}[/mm] (hier ist der
> Binomialkoeffizient gemeint)
>  
> Guten Abend, liebe Mathematiker. Ich soll obiges Resultat
> beweisen, ein Tipp war, es mit Induktion zu versuchen.
>  Ich bilde also (nach meinem Induktionsanfang) die
> Induktionsvoraussetzung
> [mm]\frac{(2n-2)!}{((n-1)!)^2*2^{2n-2}}\leq\frac{1}{\sqrt{2n-1}}[/mm]
> und rechne dann herum:
>  [mm]\frac{(2n)!}{(n!)^{2}*2^{2n}}=\frac{(2n-2)! 2n (2n-1)}{(n-1)!*n*n*2^{2n-2}*2*2}\leq\frac{1}{\sqrt{2n-1}}\cdot\frac{2n (2n-1)}{n^2*2*2}[/mm],
> komme so aber an kein Ziel..

Da fehlt ja auch noch die Fortsetzung der Ungleichungskette. Ich nehme den letzten Term mal noch mit auf:

[mm] \cdots=\bruch{1}{\wurzel{2n-1}}*\bruch{2n-1}{2n}\le\bruch{1}{\wurzel{2n+1}} [/mm]

Das willst Du ja schließlich zeigen.

Mit ein bisschen Umformen kommt man schnell zu

[mm] 1\le\wurzel{1+\bruch{1}{4n^2-1}} [/mm]

was offensichtlich wahr ist.

Grüße
reverend

>  Hat irgendjemand zu dieser späten Stunde noch einen Tipp
> für mich?
>  Lg Lykanthrop

Späte Stunde? In welcher Zeitzone bist Du denn? ;-)




Bezug
        
Bezug
Abschätzung mit Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:44 Do 31.05.2012
Autor: Lykanthrop

Vielen Dank für deine Hilfe!

Bezug
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