Abschätzung mit Chauchy-Ungl. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei f eine ganze Funktion und es gebe [mm] c_{j}, [/mm] j = 0,1,...,m und ein R>0, so dass für alle z [mm] \in \IC [/mm] mit |z| [mm] \ge [/mm] R gilt:
|f(z)| [mm] \le \summe_{j=0}^{m}c_{j}|z|^{j}
[/mm]
Zeigen Sie, dass f ein Polynom vom Grade [mm] \le [/mm] m ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also meine Idee ist, die Cauchyschen Ungleichungen zu verwenden und damit zu zeigen, dass [mm] f^{n}(0) [/mm] = 0 ist für alle n > m.
Es gilt ja, dass für alle z [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] |z-z_{0}| \le \bruch{r}{2} [/mm]
[mm] |f^{n}(z)| \le C_{n}\bruch{n!}{r^{n}}\max_{|\varphi-z_{0}|=r}|f(\varphi)| [/mm]
wobei [mm] C_{n} [/mm] eine von f unabhängige Konstante ist, [mm] z_{0} [/mm] der Mittelpunkt und r der Radius, so dass f auf [mm] \overline{D}(z_{0},r) [/mm] holomorph ist, was in unserem Fall ja eigentlich frei wählbar ist, da f ja ganz ist, oder?
Ich habe dann versucht das ganze abzuschätzen, bin da aber auf nichts Vernünftiges gekommen.
Würde mich sehr über ein paar Tipps freuen!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Mo 08.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei f eine ganze Funktion und es gebe [mm]c_{j},[/mm] j = 0,1,...,m
> und ein R>0, so dass für alle z [mm]\in \IC[/mm] mit |z| [mm]\ge[/mm] R gilt:
>
> |f(z)| [mm]\le \summe_{j=0}^{m}c_{j}|z|^{j}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass f ein Polynom vom Grade [mm]\le[/mm] m ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also meine Idee ist, die Cauchyschen Ungleichungen zu
> verwenden und damit zu zeigen, dass [mm]f^{n}(0)[/mm] = 0 ist für
> alle n > m.
>
> Es gilt ja, dass für alle z [mm]\in \IC[/mm] mit [mm]|z-z_{0}| \le \bruch{r}{2}[/mm]
>
> [mm]|f^{n}(z)| \le C_{n}\bruch{n!}{r^{n}}\max_{|\varphi-z_{0}|=r}|f(\varphi)|[/mm]
>
> wobei [mm]C_{n}[/mm] eine von f unabhängige Konstante ist, [mm]z_{0}[/mm] der
> Mittelpunkt und r der Radius, so dass f auf
> [mm]\overline{D}(z_{0},r)[/mm] holomorph ist, was in unserem Fall ja
> eigentlich frei wählbar ist, da f ja ganz ist, oder?
>
> Ich habe dann versucht das ganze abzuschätzen, bin da aber
> auf nichts Vernünftiges gekommen.
Was hast du denn bisher abgeschätzt?
Für den Fall [mm] $z_0=0$ [/mm] lautet deine Ungleichung doch
[mm]|f^{n}(z)| \le C_{n}\bruch{n!}{r^{n}}\max_{|\varphi|=r}|f(\varphi)|[/mm] für alle [mm] z \in \IC[/mm] mit [mm] $|z|\le \bruch{r}{2}$.
[/mm]
Nach Voraussetzung ist
[mm] \max_{|\varphi|=r}|f(\varphi)| \le \max_{|\varphi|=r} \summe_{j=0}^{m}c_{j}|z|^{j} = \summe_{j=0}^{m}c_{j}r^j [/mm] für alle [mm] $r\ge [/mm] R$.
Was passiert, wenn du r immer größer werden lässt?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
