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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Zeigen sie mit Hilfe der Eigenschaften von Logarithmus und Exponentialfunktion:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n!}=\infty [/mm] |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe fehlt mir eine passende Abschätzung.
Ich forme um zu:
[mm] e^{\frac{1}{n} \cdot log(n!)} [/mm] und betrachte anschließend nur den Exponenten, der gegen [mm] \infty [/mm] gehen muss.
Mir fällt nun jedoch keine gescheite Abschätzung ein, die ich aus 1-1/x [mm] \le [/mm] log(x) folgern könnte.
Habt ihr eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wimme!
Forme mal um und wende ein  Logarithmusgesetz an:
[mm] $$\bruch{\ln(n!)}{n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln(1*2*3*...*n)}{n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln(1)+\ln(2)+\ln(3)+...+\ln(n)}{n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln(1)}{n}+\bruch{\ln(2)}{n}+\bruch{\ln(3)}{n}+...+\bruch{\ln(n)}{n}$$
[/mm]
Betrachte nun einmal den letzten Summanden.
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:01 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Wimme |
deiner Umformung zufolge würde ich sagen, dass alle Summanden gegen 0 gehen und damit das ganze Ding auch gegen 0, was falsch ist.
Wo mache ich den Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Mi 09.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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