Abschätzung epsilon-delta < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:53 Do 14.07.2011 | | Autor: | Sin777 |
Hallo, ich habe jetzt schon in mehreren Büchern Folgendes gelesen:
1.) Wenn man delta nach oben beschränkt mit delta < 1 so gilt immer(!), falls der Definitionsbereich der Funktion keine Lücken aufweist:
[mm] \delta [/mm] < 1 [mm] \Rightarrow x_{0}-1 [/mm] < x < [mm] x_{0}+1
[/mm]
2.) Wenn man delta nach oben beschränkt mit delta < [mm] |\bruch{x_{0}}{2}| [/mm] so gilt immer(!), falls 0 nicht im Definitionsbereich liegt:
[mm] \delta [/mm] < [mm] |\bruch{x_{0}}{2}| \Rightarrow \bruch{x_{0}}{2} [/mm] < |x| < [mm] \bruch{3|x_{0}|}{2}
[/mm]
[mm] (x_{0} [/mm] ist die Stetigkeitsstelle)
Wie kommt man so selbstverständlich auf diese Abschätzung? Ich sehe dies so oft und komme nicht darauf, wie man darauf schließen kann. Ich wäre echt total dankbar, wenn mir das jemand erklären könnte ... Das man man delta immer nach oben beschränken kann ist mir klar aber die daraus resultierende Schlussfolgerung nicht.
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Huhu,
trotz daß dir klar ist, dass man das [mm] \delta [/mm] beschränken kann, ist dir anscheinend nicht klar, was das [mm] \delta [/mm] selbst beschränkt.
Irgendwie verwunderlich, aber nun gut:
Das [mm] \delta [/mm] definiert dir ja eine [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] um [mm] x_0, [/mm] d.h. [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] bedeutet ja nichts anderes, als dass deine gewählten x einen Abstand kleiner als [mm] \delta [/mm] von [mm] x_0 [/mm] haben müssen. Das ist aber äquivalent zu:
[mm] $x\in (x_0 [/mm] - [mm] \delta, x_0 [/mm] + [mm] \delta)$
[/mm]
Wählt man nun [mm] $\delta<1$ [/mm] gilt offensichtlich [mm] $(x_0 [/mm] - [mm] \delta, x_0 [/mm] + [mm] \delta) \subset [x_0 [/mm] - 1, [mm] x_0 [/mm] + 1]$ und damit [mm] $x\in [x_0 [/mm] - 1, [mm] x_0 [/mm] + 1]$, also das Gewünschte.
Die zweite Abschätzung folgt analog.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:38 Do 14.07.2011 | | Autor: | Sin777 |
Danke für die Erklärung. Mir ist wohl doch noch nicht klar, warum man delta überhaupt nach oben beschränken darf...Könntest Du mir das auch noch erklären?
Danke im Voraus
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Huhu,
die Aufgabe bei Stetigkeit lautet:
"Zu jedem [mm] $\varepsilon$ [/mm] finde ein [mm] $\delta$, [/mm] so dass $|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $x [mm] \in (x_0 [/mm] - [mm] \delta,x_0+\delta)$"
[/mm]
Nehmen wir mal an, es gäbe so ein [mm] $\delta$, [/mm] dass das gilt.
Dann gilt für jedes [mm] $\overline{\delta} [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] ja, dass [mm] $(x_0 [/mm] - [mm] \overline{\delta},x_0+\overline{\delta}) \subset (x_0 [/mm] - [mm] \delta,x_0+\delta)$, [/mm] d.h. jedes x, was in der [mm] $\overline{\delta}$-Umgebung [/mm] von [mm] x_0 [/mm] liegt, liegt automatisch auch in der [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$.
[/mm]
Da ja für ALLE x aus der [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von [mm] x_0 [/mm] bereits $|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] gilt und jedes x aus der [mm] $\overline{\delta}$-Umgebung [/mm] ebenfalls in der [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] liegt, gilt eben auch für alle x aus der [mm] $\overline{\delta}$-Umgebung [/mm] $|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Allgemein heißt es also: Finden wir zu einem [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein geeignetes [mm] $\delta$, [/mm] so können wir auch jedes andere $0 < [mm] \overline{\delta} \le \delta$ [/mm] wählen.
Beschränken wir unser [mm] \delta [/mm] nun von vornherein beispielsweise durch [mm] $\delta [/mm] < a$ und bekommen nachher zu einem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] > a heraus, so wählen wir unser [mm] \delta [/mm] einfach kleiner, was ja kein Problem ist nach unserer Vorbetrachtung oben.
Finden wir raus, dass [mm] \delta [/mm] eh irgendwas kleiner als a sein muss, ist unsere Einschränkung eh egal.....
MFG,
Gono.
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