Abschätzung e/ln Fkt. Unglei. < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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huhu,
es geht um ein Stück einer Ungleichung, wobei ich nicht ganz verstehe, warum sie gilt. Sie lautet:
[mm] e^{\bruch{1}{p} \* ln(a^p)} \le \bruch{1}{p} \* e^{ln(a^p)} [/mm]
dabei ist p auf jeden Fall > 0. Aber wieso gilt das? Kann mir das jemand sagen?
Liebe Grüße,
Evelyn
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Hallo Evelyn,
Hier stand Murks ...
Ich bleibe dran ...
Gruß
schachuzipus
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Jetzt aber:
Linkerhand steht doch "nur" a, rechterhand [mm]\frac{1}{p}\cdot{}a^p[/mm]
Was ist mit [mm]a=\frac{1}{3}, p=2[/mm]
Dann hat man [mm]\frac{1}{3}\le \frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{18}[/mm]
Und das stimmt ja nicht.
Hast du irgendwelche weiteren Voraussetzungen an a,p?
Gruß
schachuzipus
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heey
entschuldige bitte, ich hatte vergessen zu schreiben, dass a [mm] \ge [/mm] 0 ist.
http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Analysis:_Ungleichungen:_Young%27sche_Ungleichung#unmittelbar
unter "Beweise " sehr weit unten
das will ich beweisen, aber bei mir ist die Vorraussetzung q nur [mm] \ge [/mm] 0 und nicht [mm] \ge [/mm] 1.
Es ist die letzte Abschätzung in der Ungleichung, die ich nicht ganz nachvollziehen kann.
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Hallo nochmal,
> heey
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> entschuldige bitte, ich hatte vergessen zu schreiben, dass
> a [mm]\ge[/mm] 0 ist.
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> http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Analysis:_Ungleichungen:_Young%27sche_Ungleichung#unmittelbar
>
> unter "Beweise " sehr weit unten
>
> das will ich beweisen, aber bei mir ist die Vorraussetzung
> q nur [mm]\ge[/mm] 0 und nicht [mm]\ge[/mm] 1.
Das hat aber so gar nix mit dem zu tun, was du hier aufgeschrieben hast...
Bei dir ist kein q, Summanden fehlen ...
> Es ist die letzte Abschätzung in der Ungleichung, die ich
> nicht ganz nachvollziehen kann.
Ich nehme an, es geht um [mm]e^{\frac{1}{p}\ln(a^p)+\frac{1}{q}\ln(a^q)}\le\frac{1}{p}e^{\ln(a^p)}+\frac{1}{q}e^{\ln(a^q)}[/mm] ?
Das ist genau die Anwendung der Konvexität der Exponentialfunktion, beachte: [mm]\frac{1}{q}=1-\frac{1}{p}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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> Hallo nochmal,
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> > heey
> >
> > entschuldige bitte, ich hatte vergessen zu schreiben, dass
> > a [mm]\ge[/mm] 0 ist.
> >
> >
> http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Analysis:_Ungleichungen:_Young%27sche_Ungleichung#unmittelbar
> >
> > unter "Beweise " sehr weit unten
> >
> > das will ich beweisen, aber bei mir ist die Vorraussetzung
> > q nur [mm]\ge[/mm] 0 und nicht [mm]\ge[/mm] 1.
>
> Das hat aber so gar nix mit dem zu tun, was du hier
> aufgeschrieben hast...
>
> Bei dir ist kein q, Summanden fehlen ...
ich dachte dir als ich die Ungleichung so ansah, dass auch nur die eine Hälfte gelten muss mit einem der Terme auf jeweils einer der Seiten, sind ja nur versch. Variablen, daher hab ich eins mit q weggelassen.
>
> > Es ist die letzte Abschätzung in der Ungleichung, die ich
> > nicht ganz nachvollziehen kann.
>
> Ich nehme an, es geht um
> [mm]e^{\frac{1}{p}\ln(a^p)+\frac{1}{q}\ln(a^q)}\le\frac{1}{p}e^{\ln(a^p)}+\frac{1}{q}e^{\ln(a^q)}[/mm]
> ?
>
> Das ist genau die Anwendung der Konvexität der
> Exponentialfunktion, beachte: [mm]\frac{1}{q}=1-\frac{1}{p}[/mm]
Konvexität kenne ich aus der Def., dass eine Menge konvex ist, wenn jede Verbindungsstrecke von zwei bel. Punkten auch in der Menge liegt. (grob gesagt)
Was bedeutet es, wenn eine Funktion konvex ist? (ich hab gelesen dass die zweite ABleitung > 0 ist treffen kann, aber auch die Bedeutung davon sagt mir nicht viel )
> Gruß
>
> schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Fr 26.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wozu gibts wiki
schau da nach unter konvexe Funktion
deine Def gilt für Gebiete.
Gruss leduart
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> Das hat aber so gar nix mit dem zu tun, was du hier
> aufgeschrieben hast...
>
> Bei dir ist kein q, Summanden fehlen ...
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> > Es ist die letzte Abschätzung in der Ungleichung, die ich
> > nicht ganz nachvollziehen kann.
>
> Ich nehme an, es geht um
> [mm]e^{\frac{1}{p}\ln(a^p)+\frac{1}{q}\ln(a^q)}\le\frac{1}{p}e^{\ln(a^p)}+\frac{1}{q}e^{\ln(a^q)}[/mm]
> ?
dazu muss ich wohl sagen, dass ich statt nur a's a und b habe :P
> Das ist genau die Anwendung der Konvexität der
> Exponentialfunktion, beachte: [mm]\frac{1}{q}=1-\frac{1}{p}[/mm]
>
huhu nochmals,
also es gilt bei mir
f(ta + b -tb ) [mm] \le [/mm] tf(a) - f(b) - t f(b) (mit x=a , y=b)
nur wie wende ich das auf den Exponenten an? ich ziehe ja aus dem Exponenten den Term nach vorne. Das kann ich an dieser Ungleichung der Konvexität iwie nicht nachvollziehen ;/ Ist meint t irgendwie mein 1/p ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 So 28.10.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
> also es gilt bei mir
>
> f(ta + b -tb ) [mm] \le [/mm] tf(a) - f(b) - t f(b) (mit x=a , y=b)
Das ist so nicht richtig. Es gilt
[mm] f(t\cdot a+(1-t)\cdot b)\le{t\cdot f(a)+(1-t)\cdot f(b)} [/mm] mit t [mm] \in [/mm] [0,1]
Mit [mm] f(x)=e^x [/mm] folgt für
[mm] t=\frac{1}{p} [/mm] sowie
[mm] u=ln(a^p) [/mm] und
[mm] v=ln(a^q) [/mm] und
[mm] x=t\cdot{u}+(1-t)\cdot{v} [/mm] das gilt
[mm] e^{\frac{1}{p}\ln(a^p)+\frac{1}{q}\ln(a^q)}\le \frac{1}{p}*e^{ln(a^p)}+\frac{1}{q}*e^{ln(a^q)} [/mm]
mit [mm] \bruch{1}{q}=1-\bruch{1}{p}
[/mm]
Das gilt aber nur für p, q > 1
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Oh vielen vielen Dank
genau diese Erklärung hat mir gefehlt zum Verständnis:)
Vielen lieben Dank ullim :)
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Damit die Gleichung überhaupt stimmen kann, muss p>0 sein.
Links steht e hoch pipapo, und das ist immer positiv, da die e-Funktion nur positive Werte hat.
Die rechte Seite soll größer sein, muss also auch positiv sein. 1/p wird wieder mit e hoch popapi, also einem positiven Faktor multipliziert. Daher muss 1/p und damit p ebenfalls positiv sein.
Oder bezieht sich deine Frage "Wieso gilt das" nicht auf p, sondern auf die gesamte Ungleichung?
Dann ist diese Ungleichung nicht für alle Zahlen richtig.
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mein a ist ebenfalls größer oder auch gleich 0.
es bezieht sich auf die ganze Ungleichung, weil ich nicht verstehe warum der rechte term größer ist, wenn ich die 1/p aus den exponenten davor ziehe vor der e funktion :/
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$ [mm] e^{\bruch{1}{p} * ln(a^p)} \le \bruch{1}{p} [/mm] * [mm] e^{ln(a^p)} [/mm] $
Wir wenden Logarithmenregeln an. Die Gleichung ist dann äquivalent zu
$ [mm] e^{ ln(a^p)^{\bruch{1}{p}}} \le \bruch{1}{p} [/mm] * [mm] (a^p) [/mm] $
und das wiederum zu
$ [mm] e^{ ln(a^{p*\bruch{1}{p}})} \le \bruch{1}{p} [/mm] * [mm] (a^p) [/mm] $
bzw.
$ [mm] e^{ ln(a^1)} \le \bruch{1}{p} [/mm] * [mm] (a^p) [/mm] $
oder
$ a [mm] \le \bruch{1}{p} [/mm] * [mm] (a^p) [/mm] $
bzw.
$ a*p [mm] \le (a^p) [/mm] $
Für p=1 gilt die Gleichheit.
Für z.B. p= 3 und a = 1 gilt aber 1*3 [mm] \ge 1^3, [/mm]
für z.B. p=0,5 und a=5 gilt aber 5*0,5 [mm] \ge 5^{0,5}.
[/mm]
Die ungleichung ist also im Allgemeinen nicht richtig.
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Hallo HJK,
dass da [mm] $a\le \frac{1}{p}a^p$ [/mm] steht und das i.A. nicht gilt, wurde schon ganz weit oben angemerkt.
Die eigentlich gemeinte Ungleichung ist eine "leicht" andere ...
Gruß
schachuzipus
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