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Forum "mathematische Statistik" - Abschätzung Varianzen
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Abschätzung Varianzen: Wie zeige ich das?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 Mi 14.05.2014
Autor: sick_of_math

Aufgabe
Es gelte das Modell der Einfachregression, also
[mm] $y_i=\theta_1+\theta_2x_i+U_i, 1\leqslant i\leqslant [/mm] n$ mit [mm] $Var(U_i)=\sigma^2$ [/mm] und [mm] $y_i$ [/mm] unabhängig.

Weiter sei [mm] $\hat{\theta_2}$ [/mm] der kleinste Quadratschätzer für den unbekannten Parameter [mm] $\theta_2$. [/mm] Weiter sei [mm] $x_1\neq x_n$ [/mm] und

[mm] $\tilde{\theta_2}=(y_n-y_1)/(x_n-x_1)$. [/mm]

Beweise, dass [mm] $Var(\tilde{\theta_2})> Var(\hat{\theta_2})$, [/mm] wenn [mm] $\sigma^2 [/mm] > 0$ und [mm] $\overline{x}\neq(x_1+x_n)/2$. [/mm]



Hallo!

Ich habe zuerst gezeigt, dass

[mm] $Var(\tilde{\theta_2})=\frac{2\sigma^2}{(x_n-x_1)^2}$ [/mm]

und

[mm] $Var(\hat{\theta_2})=\frac{\sigma^2}{\sum_i (x_i-\overline{x})^2}$. [/mm]


Wie kann man damit jetzt zeigen, dass unter den angegebenen Bedingungen

[mm] $Var(\tilde{\theta_2}) [/mm] > [mm] Var(\hat{\theta_2})$? [/mm]


Ich bekomme das leider nicht hin.


MfG

        
Bezug
Abschätzung Varianzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:49 Do 15.05.2014
Autor: luis52

Moin, die Aussage folgt sofort aus dem Satz von Gauss-Markow, siehe z.B []hier. M.E. braucht man die Einschraenkung $ [mm] \overline{x}\neq(x_1+x_n)/2 [/mm] $ dafuer nicht.

Bezug
                
Bezug
Abschätzung Varianzen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:08 Mo 19.05.2014
Autor: sick_of_math

Edit:

Also [mm] $\tilde{\theta}_2$ [/mm] ist ein linearer, erwartungstreuer Schätzer für [mm] $\theta_2$, [/mm] ebenso ist es [mm] $\hat{\theta}_2$; [/mm] Gauß-Markov sagt einem dann doch, dass

[mm] $Var(\tilde{\theta}_2)\geqslant Var(\hat{\theta}_2)$, [/mm] richtig?


Aber ich soll ja zeigen, dass die Varianz echt größer ist.

Bezug
                        
Bezug
Abschätzung Varianzen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mi 21.05.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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