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| Aufgabe | Es gelte das Modell der Einfachregression, also
[mm] $y_i=\theta_1+\theta_2x_i+U_i, 1\leqslant i\leqslant [/mm] n$ mit [mm] $Var(U_i)=\sigma^2$ [/mm] und [mm] $y_i$ [/mm] unabhängig.
Weiter sei [mm] $\hat{\theta_2}$ [/mm] der kleinste Quadratschätzer für den unbekannten Parameter [mm] $\theta_2$. [/mm] Weiter sei [mm] $x_1\neq x_n$ [/mm] und
[mm] $\tilde{\theta_2}=(y_n-y_1)/(x_n-x_1)$.
[/mm]
Beweise, dass [mm] $Var(\tilde{\theta_2})> Var(\hat{\theta_2})$, [/mm] wenn [mm] $\sigma^2 [/mm] > 0$ und [mm] $\overline{x}\neq(x_1+x_n)/2$. [/mm] |
Hallo!
Ich habe zuerst gezeigt, dass
[mm] $Var(\tilde{\theta_2})=\frac{2\sigma^2}{(x_n-x_1)^2}$
[/mm]
und
[mm] $Var(\hat{\theta_2})=\frac{\sigma^2}{\sum_i (x_i-\overline{x})^2}$.
[/mm]
Wie kann man damit jetzt zeigen, dass unter den angegebenen Bedingungen
[mm] $Var(\tilde{\theta_2}) [/mm] > [mm] Var(\hat{\theta_2})$?
[/mm]
Ich bekomme das leider nicht hin.
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Do 15.05.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin, die Aussage folgt sofort aus dem Satz von Gauss-Markow, siehe z.B ![[]](/images/popup.gif) hier. M.E. braucht man die Einschraenkung $ [mm] \overline{x}\neq(x_1+x_n)/2 [/mm] $ dafuer nicht.
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Edit:
Also [mm] $\tilde{\theta}_2$ [/mm] ist ein linearer, erwartungstreuer Schätzer für [mm] $\theta_2$, [/mm] ebenso ist es [mm] $\hat{\theta}_2$; [/mm] Gauß-Markov sagt einem dann doch, dass
[mm] $Var(\tilde{\theta}_2)\geqslant Var(\hat{\theta}_2)$, [/mm] richtig?
Aber ich soll ja zeigen, dass die Varianz echt größer ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 21.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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