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Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Fr 08.11.2013
Autor: mathestudent111

Hey leute,

kann mir einer zeigen wie ich folgende Abschätzung beweisen kann.

1-x [mm] \le e^{-x} [/mm]

Danke schonmal.

Gruß

        
Bezug
Abschätzung: Potenzreihe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 Fr 08.11.2013
Autor: Roadrunner

Hallo mathestudent!


Verwende die Potenzreihendarstellung der Exponentialfunktion:   [mm] $\exp(x) [/mm] \ := \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Fr 08.11.2013
Autor: mathestudent111

Ok. Wie ist denn denn die Potenzreihe für [mm] e^{-x}? [/mm]

Eigentlich könnte man die Aussage auch anders herum formulieren.
Also [mm] e^{x} \ge [/mm] 1+x

Es kommt nach der Potenzreihe dann [mm] 1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+... [/mm]

Wie kann ich dann zeigen, dass  [mm] \bruch{x^{2}}{2!}+.... \ge [/mm] 0 ist?


Bezug
                        
Bezug
Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:04 Fr 08.11.2013
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Ok. Wie ist denn denn die Potenzreihe für [mm]e^{-x}?[/mm]

Na, [mm]e^x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot{}x^k[/mm]

Also [mm]e^{\red{-x}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot{}\red{(-x)}^k \ = \ 1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\pm\ldots[/mm]

>

> Eigentlich könnte man die Aussage auch anders herum
> formulieren.
> Also [mm]e^{x} \ge[/mm] 1+x

>

> Es kommt nach der Potenzreihe dann
> [mm]1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+...[/mm]

>

> Wie kann ich dann zeigen, dass [mm]\bruch{x^{2}}{2!}+.... \ge[/mm] 0 ist?

Dazu fällt mir gerade auch nicht viel ein.

Ich würde das Ganze auch eher mit dem Mittelwertsatz angehen ...

Gruß

schachuzipus
>

Bezug
                                
Bezug
Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Sa 09.11.2013
Autor: mathestudent111

Hallo nochmal,

ja ich habe nochmal wegen der Exponentialreihe nachgedacht, aber leider bin ich nicht zu einem Ergebnis gekommen.

Wie könnte ich es denn mit dem MWS machen?

Gruß

Bezug
                                        
Bezug
Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 So 10.11.2013
Autor: fred97


> Hallo nochmal,
>  
> ja ich habe nochmal wegen der Exponentialreihe nachgedacht,
> aber leider bin ich nicht zu einem Ergebnis gekommen.
>  
> Wie könnte ich es denn mit dem MWS machen?


Die Ungleichung

1-x $ [mm] \le e^{-x} [/mm] $

ist gleichbedeutend mit:  [mm] (1-x)e^x \le [/mm] 1.

Setze [mm] f(x)=(1-x)e^x [/mm] -1 und zeige: f(x) [mm] \le [/mm] 0 für alle x [mm] \in \IR. [/mm]

Wegen f(0)=0 stimmt das schon mal für x=0

Sei also x [mm] \ne [/mm] 0. Nach dem MWS gibt es ein s zwischen 0 und x mit

    [mm] f(x)=-sxe^s. [/mm]

Zeigen musst Du noch:  sx [mm] \ge [/mm] 0

FRED

>  
> Gruß


Bezug
                                                
Bezug
Abschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:07 Mi 20.11.2013
Autor: mathestudent111

Vielen Dank!

Bezug
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