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| Aufgabe | Man beweise, dass für x>0 die folgenden Ungleichungen gelten:
[mm] $\frac{x}{1+x^2}\cdot e^{-x^2/2}\leq\int_x^\infty{e^{-z^2/2}dz}\leq\frac{1}{x}e^{-x^2/2} [/mm] |
Guten Abend.
Leider habe ich keine Idee, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Wie kann ich das Integral hier gut abschätzen? Bin für jeden Tipp dankbar.
Lg Lykanthrop
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Hiho,
formen wir die erste Ungleichung mal um und erhalten:
[mm] $xe^{-x^2/2}\leq (1+x^2)\int_x^\infty{e^{-z^2/2}dz}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 0 [mm] \le (1+x^2)\int_x^\infty{e^{-z^2/2}dz} [/mm] - [mm] x*e^\bruch{-x^2}{2}$
[/mm]
Wir stellen fest: für x=0 stimmt die Gleichung.
Betrachte nun die Ableitung von
$h(x) = [mm] (1+x^2)\int_x^\infty{e^{-z^2/2}dz} [/mm] - [mm] x*e^\bruch{-x^2}{2}$
[/mm]
Für x>0 gilt dann $h'(x) [mm] \ge [/mm] 0$ (warum?)
Damit ist die Ungleichung bewiesen (warum?)
MFG,
Gono.
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Danke für deine Hinweise! Wenn ich gezeigt habe, dass die Ableitung von h(x) größergleich 0 ist, dann ist die Funktion monoton wachsend und daher gilt die linke Ungleichung (wenn sie für x=0 gezeigt wurde).
Allerdings habe ich ein bisschen Schwierigkeiten mit der Ableitung von dem Integral. Wie leite ich das denn ab (mit x als Grenze)?
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Hiho,
stimmt denn dein mathematischer Background?
Der ![[]](/images/popup.gif) Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt dir, dass [mm] $\left(\integral_a^x f(z)\,dz\right)' [/mm] = f(x)$
Beachte aber, dass [mm] $\integral_x^a f(z)\,dz [/mm] = - [mm] \integral_a^x f(z)\,dz$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Do 31.05.2012 | | Autor: | Lykanthrop |
Stimmt, vielen Dank! Bin ein bisschen auf dem Schlauch gestanden.
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