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Abschätzung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:13 Sa 09.01.2021
Autor: sancho1980

Hallo,
ich habe wieder mal ein Brett vorm Kopf. Ich soll zeigen, dass [mm] $\sqrt{n^2 + 1} [/mm] - [mm] \sqrt{n^2 - 1} \to [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty$, [/mm] nebst Abschätzung für [mm] $n_0$, [/mm] sodass für all $n > [mm] n_0$ [/mm] gilt [mm] $\sqrt{n^2 + 1} [/mm] - [mm] \sqrt{n^2 - 1} [/mm] < [mm] \epsilon$. [/mm]
Ich beginne mit [mm] $(\sqrt{n^2 + 1} [/mm] - [mm] \sqrt{n^2 - 1})^2 [/mm] = [mm] 2n^2 [/mm] - [mm] 2\sqrt{n^2 + 1}\sqrt{n^2 - 1} [/mm] < [mm] {\epsilon}^2$. [/mm] Wegen [mm] $\sqrt{n^2 + 1}\sqrt{n^2 - 1} \ge n^2 [/mm] - 1$ lande ich dann bei [mm] $2n^2 [/mm] - [mm] 2(n^2 [/mm] - 1) < [mm] {\epsilon}^2$, [/mm] also $1 < [mm] \frac{{\epsilon}^2}{2}$, [/mm] also scheint das zu grob zu sein.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Danke und Gruß,
Martin

        
Bezug
Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Sa 09.01.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

Erweitere für die 3. binomischer Formel mit $ [mm] \sqrt{n^2 + 1} [/mm] + [mm] \sqrt{n^2 - 1} [/mm] $ und bedenke dann
$ [mm] \sqrt{n^2 + 1} [/mm] + [mm] \sqrt{n^2 - 1} [/mm] >   2 [mm] \sqrt{n^2 - 1} [/mm] $
Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 Mo 11.01.2021
Autor: fred97


> Hallo,
>  ich habe wieder mal ein Brett vorm Kopf. Ich soll zeigen,
> dass [mm]\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - 1} \to 0[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm],
> nebst Abschätzung für [mm]n_0[/mm], sodass für all [mm]n > n_0[/mm] gilt
> [mm]\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - 1} < \epsilon[/mm].
>  Ich beginne
> mit [mm](\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - 1})^2 = 2n^2 - 2\sqrt{n^2 + 1}\sqrt{n^2 - 1} < {\epsilon}^2[/mm].
> Wegen [mm]\sqrt{n^2 + 1}\sqrt{n^2 - 1} \ge n^2 - 1[/mm] lande ich
> dann bei [mm]2n^2 - 2(n^2 - 1) < {\epsilon}^2[/mm], also [mm]1 < \frac{{\epsilon}^2}{2}[/mm],
> also scheint das zu grob zu sein.
>  Kann mir jemand weiterhelfen?
>  Danke und Gruß,
>  Martin


Ich bin schon erstaunt, denn vor ca. 74 Tagen hat man Dir hier

    https://matheraum.de/read?t=1098404

den "Trick" mit der 3. bin. Formel ans Herz gelegt.

Ich habe damals geschrieben: "Merk Dir diesen Trick ! "

Offenbar hast Du das nicht getan.

Bezug
                
Bezug
Abschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:42 Di 12.01.2021
Autor: sancho1980

Asche über mein Haupt! Aber daneben gibt es gerade noch so viele Dinge und Tricks, die ich versuche, mir zu merken. Hoffentlich klappt es diesmal ...

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